Petit problème de statistiques démographiques

A la suite de notre note sur le déséquilibre entre les naissances de garçons et de filles en Chine, FloG, un visiteur de ce blog bien connu de nos services, a posé, dans les commentaires, le problème suivant :

“Je suis d’humeur badine, alors je vous propose une petite énigme sur le thème du contrôle des naissances. Dans un pays X, que nous appellerons par exemple la Chinde (ou l’Ine), une loi est promulguée selon laquelle les familles doivent cesser d’avoir un enfant dès la naissance d’un garçon.

Quelques années plus tard, recensement. On trouve donc des familles avec un seul garçon, des familles avec une fille et un garçon, des familles avec deux filles et un garçon, des familles avec trois filles et un garçon, ou encore avec sept filles et un garçon, etc. ainsi que des familles qui n’ont que des filles et qui ont renoncé à avoir un héritier mâle.

Dans cette génération, le nombre de garçons tendrait-il à dépasser celui des filles ? Ou le contraire ?“

Dans les commentaires, certains se sont lancés dans de savant calculs qui n’ont pas convaincu l’ami FloG.

“La réponse est courte, l’explication est simple.

Admettons que la proportion entre nouveaux-nés masculins et nouveaux-nés féminins, chez les humains, est de 50-50. Dès lors, la prochaine mère chindienne qui donnera naissance à un enfant aura toujours une chance sur deux d’avoir un garçon ou une fille.

En d’autres termes : chaque mère autorisée à essayer d’avoir un enfant aura 50% de chance d’avoir un garçon et 50% de chance d’avoir une fille. La loi chindienne ne changera rien à la répartition des garçons et des filles.

Première expérience de pensée. Observons une maternité chindienne. Admettons pour simplifier que toutes les femmes essaient d’avoir un enfant la première année de promulgation de la loi : (+/-)50% de filles et (+/-)50% de garçons. Jusque là, vous êtes d’accord.

Année suivante, les mères autorisées à procréer offrent à la nation 50% de filles, et 50% de garçons.
Année suivante, les mères autorisées à procréer (et motivées) offrent à la nation 50% de filles, et 50% de garçons.
Année suivante, les mères autorisées à procréer (et motivées) offrent à la nation 50% de filles, et 50% de garçons.
Etc !

Vous saisissez l”astuce ? Pour parler le langage des probabilités, il s’agit de séries de “séries (”session” ?) de “tirages avec remise”" (à chaque tirage y a toujours 50% de chance d’avoir un garçon / une fille !), le nombre de tirages s’allant se réduisant à chaque “session”.

Seconde expérience de pensée, encore plus convaincante. Si ce n’est pas encore tout à fait clair ; l’intution rechigne souvent à la logique.

Tirez au hasard 1000 billes noires et blanches, que vous posez dans deux bacs. Les noires sont les garçons, les blanches les filles.
1000 billes. Imaginons que le tirage donne 504 blanches, 496 noires

Les billes blanches vous donnent le droit de tirer de nouveau dans le sac contenant 50/50 de billes.
504 billes suivantes : 255 blanches et 249 noires.
Tirons 250 nouvelles billes (simulant que… cinq mères ne sont plus motivées !) :

124 blanches, 126 noires.
Continuez autant de fois que vous voulez : Vous aurez toujours environ 50% de blanches et de noires à chaque tirage. Vos deux bacs se remplissent à chaque fois de quasiment autant. Le nombre de noires et de blanches sont toujours sensiblement identiques. CQFD.”

^{Cette énigme est un très grand classique du piège logico-mathématique, qui a pourri la vie de plus d’un étudiant de terminale. En général, le professeur pervers le donne pendant les révisions sur les limites de séries géométriques. Tout le monde s’acharne à trouver le bon modèle… qui n’est pas du tout un cas de limite de série. Les professeurs sont des pervers.}

Photo : macati