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Irrationnel, algébrique,transcendant :Un vocabulaire souvent mal connu

Par Guy Marion
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers.
Il existe deux types d'irrationnels :
les nombres algébriques et les nombres transcendants :
Un nombre algébrique est un nombre réel ( ou complexe ) qui est racine d’une équation polynomiale :
où n est un entier supérieur ou égal à 1 et où les coefficients ai sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont au moins un est non nul.
Au contraire ,un nombre transcendant est un nombre réel (ou complexe ) qui n'est racine d'aucune équation polynomiale :
La racine carrée de 2 par exemple est irrationnelle, mais pas transcendante puisqu’elle est solution de l'équation polynomiale x²-2=0
Un nombre réel (ou complexe) est donc transcendant si et seulement si il n'est pas algébrique.
L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument de comptage : il y a une infinité non dénombrable de nombres réels (ce qui signifie qu’on ne peut pas les nommer tous en leur attribuant des numéros ) et seulement une infinité dénombrable de nombres algébriques ; donc la grande majorité des réels sont des nombres qui ne sont pas algébriques
Ils sont transcendants.

Rappelons que c’est Pythagore qui a le premier mis en évidence les nombres irrationnels. L’existence des irrationnels aurait été découverte en constatant que la diagonale d'un carré ne contient pas un nombre commensurable de fois la longueur du côté du carré : on ne peut pas dire que la diagonale est une fois et demie, ou deux fois, ou deux fois et demie plus longue que le côté.
Cela a beaucoup déstabilisé les disciples de Pythagore car cela allait contre leur principe que dans la nature, un nombre entier ou fractionnaire est associé à chaque chose.
En revanche , Pythagore et ses disciples refusent le zéro, qu'ils apparentent au « vide », à la « non-existence » et que donc la nature refuse.

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