Une transformation du plan qui n'est pas une similitude

Nous avons vu dans le cours que, par définition, une transformation du plan est une application bijective du plan dans lui-même. Nous nous plaçons ici, comme dans le cours, dans le plan euclidien usuel muni d'un repère orthonormé $\left( O;\vec{u},\vec{v}\right)$, que nous confondrons avec l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.
Lors du cours sur les similitudes, un élève a demandé s'il existait des transformations planes qui ne soient pas des similitudes. La réponse est oui, et nous allons en étudier un exemple très simple.
Notons $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, par : $$\forall x\in \mathbb{R}, f(x)=x^3.$$
On sait que cette fonction est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Soit $Z$ la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par : $$\forall z\in \mathbb{C}, f(z)=z^3.$$
Montrons que $Z$ réalise une bijection de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$.

• Soit $z$ un nombre complexe quelconque. Nous devons montrer que $z$ possède un unique antécédent par la fonction $Z$.

 Soit $R\in[0;+\infty[$ et $\theta\in[0;2\pi[$ tels que $$z=Re^{i\theta}\textrm{ (forme exponentielle de }z).$$La fonction $f$ étant bijective, il existe un unique réel $r$ tel que $r^3=R$. Posons alors :
$$c_0=re^{i\frac{\theta}{3}}$$
On a :
$$(c_0)^3=r^3 \left(e^{i\frac{\theta}{3}}\right)^3=Re^{i\theta}=z$$ donc $c_0$ est un antécédent de $z$ pour la fonction $Z$.

• Soit $c_1$ un autre antécédent de $z$ par la fonction $Z$.

Alors :
$$\left|c_1\right|^3=\left|c_1^3\right|=\left|z\right|=\left|c_0^3\right|=\left|c_0\right|^3$$
La fonction cube $f$ étant bijective, on obtient $\left|c_1\right|=\left|c_0\right|=r$.
Le nombre $\dfrac{c_1}{c_0}$ est donc un nombre complexe de module 1. On sait qu'il peut alors s'écrire sous la forme $e^{i\alpha}$, où $\alpha\in[0;2\pi[$. On a alors :
$$\left(\dfrac{c_1}{c_0}\right)^3=\dfrac{c_1^3}{c_0^3}=\dfrac{z}{z}=1\Leftrightarrow \left(e^{i\alpha}\right)^3=1\Leftrightarrow e^{3i\alpha}=1$$
On en déduit que : $$3\alpha\equiv 0 (2\pi)\Rightarrow \alpha\equiv 0 (2\pi)$$ et donc $$\dfrac{c_1}{c_0}=e^{i\alpha}=1$$ et finalement $c_1=c_0$.

• $z$ admet donc un unique antécédent pour la fonction $Z$. Cette fonction est donc bijective de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ et ce n'est pas une similitude car sa forme complexe n'est pas celle d'une similitude.

Image d'un carré par la transformation $Z$ :



Créé avec GeoGebra
Image d'un cercle :


Créé avec GeoGebra