Calendriers et congruences

Planète Gaïa, dans la République de Gaulle, année 2011 du Nouveau Calendrier Stellaire, l'Union Républicaine des Socialistes Réunis (URSR) a gagné les dernières élections planétaires et a imposé sa nouvelle politique du temps de travail. Désormais les salariés de toutes les nations devront prendre 3 jours de repos à la fin de chaque semaine : le vendredi, le samedi et le dimanche. Dans ce contexte social épanoui, la société du loisir fleurit et les jeux de logiques vont bon train...¹

Flow Overflux est professeur de mathématiques à l'Université Gaullienne des Sciences en la ville fleurie de Lutèce, capitale de la République. Bénéficiant du temps de loisirs dégagé par la nouvelle politique du temps de travail de l'URSR, il exerce ses neurones sur des jeux de logiques. Il a bien profité de son mois de juillet de 5 week-ends de trois jours, lui donnant ainsi 15 jours de repos, soit près de la moitié du mois. Flow se pose maintenant la question suivante : mais quand cela se reproduira-t-il ?²

Après y avoir réfléchi pendant quelques jours, Flow, a décidé de présenter ses réflexions à sa classe...

Mois de juillet 2011

Définitions, notations et conventions

Avant de commencer, quelques définitions, notations et conventions :

1. on dira qu'un mois est "complet en week-end" ou plus simplement "complet" lorsqu'on y trouve 15 jours de week-end ;
2. les jours de la semaine seront abrégés en lun, mar, mer, jeu, ven, sam et dim respectivement pour lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi et dimanche.
3. On ajoutera allègrement les jours entre eux en se basant sur leur ordre dans la semaine (lundi 1, mardi 2, etc... )³. Par exemple l'opération "lundi + 3 jours" donne jeudi, "dimanche + 2 jours" donnera mardi.⁴

A la recherche d'une caractérisation...

Ceci étant posé, on va chercher à caractériser ces mois complets. En examinant ce qui s'est passé en ce mois de juillet 2011, on peut d'emblée poser plusieurs constats :

1. Un mois complet est nécessairement un mois de 31 jours. Sinon, il manque soit un vendredi, soit un dimanche.
2. Un mois complet commence nécessairement par un vendredi. Idem, sinon, il manque un vendredi ou un dimanche.
3. Le premier jour de l'année 2011 est un samedi. Comme tous les jours se suivent les uns les autres (il n'y a pas de semaines dans lesquelles il manque un jour, même si ce serait certainement pratique par moment !), on peut affirmer que la prochaine année non bissextile (comme 2011) qui commencera par un samedi satisfera la question posée par l'énigme. Mais il faudra ne pas oublier de regarder ce qu'il advient des années bissextiles.

Ce constat #3 est capital est constituera notre base de départ. On va chercher à déterminer quels sont les mois complets en fonction du premier jour de l'année, pour les années bissextiles et les non bissextiles. 

Pour cela, on commence par construire un calendrier annuel en ne considérant que le premier, le 28ème et le dernier jour du mois. Supposons que le 1er janvier d'une année quelconque soit un lundi. Son 28ème jour est alors un dimanche. En effet, à partir du premier jour du mois jusqu'au 28ème, il y a exactement 4 semaines, donc le 28ème correspond au dernier jour de la 4ème semaine du mois, c'est à dire un dimanche, puisque la première semaine commençait par un lundi. Ensuite, pour avoir le jour de fin de mois, on rajoute trois jours au dimanche (pour un mois de 31 jours), ce qui nous amène au mercredi.

En procédant de cette manière pour chaque mois, on construit les calendriers simplifiés suivants :

Calendrier simplifié pour les années non bissextiles

Calendrier simplifié pour les années bissextiles

Illustration de la congruence sur un mois de 31 jours

La congruence

Ce procédé de construction nous permet d'illustrer la notion de congruence. Alors, la congruence, quoi c'est ? C'est très simple. Chaque mois compte toujours 4 semaines complètes, plus quelques jours. Si on fait la division du nombre de jours par mois par le nombre de  semaine (quatre), ça ne tombe jamais rond. Par exemple pour le mois de janvier, on obtient

. Formulé autrement : dans chaque mois, il y a toujours 4 fois 7 jours auquel il faut ajouter le nombre de jours restants pour finir le mois.

Mathématiquement cela s'écrit sous la forme de ce que l'on nomme une division entière :

Dans cette formule, 31 est appelé le dividende, 4 le diviseur, 7 est le quotient et 3 le reste (voir figure ci-contre). On dit que 31 est congru à 3 modulo 4, c'est à dire que quand on fait la division d'un mois de 31 jours en 4 semaines, il reste 3 jours, et on peut aussi l'écrire mathématiquement sous la forme suivante :

De la même manière, pour un mois de 30 jours,

et on dit que 30 est congru à 2 modulo 4. Pour un mois de février de 28 jours, il y a exactement 4 semaines, on dit que 28 est divisible par 4, le reste dans la division entière est de 0.

Revenons à notre calendrier dont le premier jour de l'année est un lundi. Plusieurs constats intéressants :

1. une année non bissextile commençant par un lundi se termine aussi par un lundi. Donc l'année suivante débutera sur un mardi.
2. une année bissextile commençant par un lundi se termine par un mardi. Donc l'année suivante débutera sur un mercredi.

En généralisant les points 1 et 2 on peut affirmer que le premier et le dernier jour d'une année non bissextile sont identiques, et que le premier et le dernier jour d'une année bissextile sont consécutifs.

Maintenant, on peut faire la même raisonnement pour des années commençant par les autres jours de la semaine : mardi, mercredi, etc. Et il n'est pas nécessaire de reconstruire totalement les deux calendriers simplifiés mais uniquement d'effectuer un décalage sur les premiers jours de chaque mois.

Par exemple, si je suppose que l'année commence par un mardi, alors tous les jours suivants seront décalés d'un jour, il suffit donc d'avancer d'un cran tous les premiers jours de chaque mois, et tous les jours suivants. Le mois de février d'une année non bissextile commencera donc par un vendredi, le mois de mars par un vendredi, le mois d'avril par un dimanche, etc.

Suivant ce raisonnement, on peut chercher pour chaque jour de la semaine la présence d'un vendredi pour le premier jour d'un mois de 31 jours. On obtient les tables suivantes :

Occurence des mois complets en fonction du premier jour de l'année - Année non bissextile

Occurence des mois complets en fonction du premier jour de l'année - Année bissextile

Dans le tableau précédent, on constate que

• seules les années non bissextiles commençant par un samedi (comme c'est le cas pour l'année 2011) ont leur mois de juillet complet ;
• seules les années bissextiles commençant par un vendredi ont leur mois de juillet complet (le mois de janvier l'est aussi d'ailleurs).

A ce niveau du raisonnement, un petit récapitulatif s'impose. Pour trouver la prochaine année présentant un mois de juillet complet :

• il nous faut donc chercher les années non bissextiles commençant par un samedi ou les années bissextiles commençant par un vendredi, sachant que :
• une année non bissextile commence et se termine par le même jour, qu'une année non bissextile commence et se termine par deux jours consécutifs.

Ce critère de caractérisation va nous permettre de trouver une autre année avec un mois de juillet complet.

Application du critère

L'année 2011 a commencé par un samedi, l'année 2012 s'entamera donc par un dimanche. L'année 2012 étant bissextile, elle se terminera par un lundi, et donc l'année 2013 commencera sur un mardi. 2013 est non bissextile, donc le 1er janvier 2014 sera un mercredi. 2014 étant non bissextile, elle débutera sur un mercredi et donc 2015 commencera par un jeudi. Enfin, le premier jour de l'année 2016 sera un vendredi, qui aura donc le mois de juillet comme mois complet.

Il faudra donc attendre 2016 pour avoir un autre mois de juillet avec 15 jours de week-end.

Flow Overflux sait maintenant qu'il lui faudra attendre jusqu'en 2016 pour avoir de nouveau un mois de juillet avec 15 jours de week-end. Et vous, en suivant le même raisonnement que lui, saurez-vous trouver ou généraliser la méthode pour déterminer toutes les années à venir présentant un mois de juillet avec 15 jours de week-end ?

1. ce contexte relève bien évidemment de la science-fiction, et toute ressemblance avec des faits passés, présents ou à venir, ou des opinions personnelles serait bien évidemment le pur fruit du hasard...
2. Récemment, Guy Marion, du blog ABC Maths a publié une énigme qui m'a fait chauffé les neurones. Son "énigme de juillet 2011" part de ce constat : en considérant que le vendredi est un jour de week-end, on constate que le mois de juillet 2012 compte 15 jours de week-end. Cet évènement assez remarquable ne se produit que rarement. Question de Guy Marion : en quelle année cela se reproduira-t-il en juillet ?
3. plus rigoureusement, on peut définir un isomorphisme entre l'ensemble E constitué des jours de la semaine avec l'ensemble Z/7Z.
4. et c'est là que la congruence pointe le bout de son nez.