L'essence du non

Soit une méthode algorithmique définie M, (composée de tous les groupes de méthodes connues M₁, M₂, M₃, …, M_n) permettant de déterminer si des suite (U_n) quelconques, convergent ou non, en donnant pour résultat M(U) = respectivement 1 ou 0.
Soit G la suite de nombres dont les k premiers termes sont algorithmiquement définis comme suit :
1°) k = 0 ; G₀ = 0
2°) G_k+1 = G_k + M(G)
3°) Ajouter 1 à k et retour en 2°)
Qu'en est-il de M(G) ?
Si M estime que G converge alors M(G) = 1 et les termes de G seront tous définis par G_k+1 = G_k + 1, ce qui implique que G diverge. Ce qui est contradictoire.
Si M estime que G diverge alors M(G) = 0 et les termes de G seront tous définis par G_k+1 = G_k, ce qui implique que G converge. Ce qui est aussi contradictoire.
M ne peut donc aboutir à une conclusion définitive qui par construction remettrait en cause la nature même de G.
La convergence de G est donc indécidable par M

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  Conclusion : quel que soit l'état des méthodes de résolution de convergence connues, il existe toujours des suites de nombres dont la convergence ne peut pas être déterminée par ces méthodes.
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