Nettoyer un CD, help !

J’ai un petit soucis, je vous raconte en quelques lignes.
On m’a offert un CD (Grand Corps Malade, le dernier album), et je l’écoutais tranquillement dans ma voiture. Lorsque je suis arrivé à destination, j’ai pris le CD pour le mettre dans sa pochette, mais il y avait déjà un autre CD dedans. Je l’ai donc posé “à l’arrache” dans la boite, je n’avais pas long de chemin à faire…

Quand j’ai voulu le ré-écouter, vers le milieu du CD il s’est mis à sauter. J’ai donc tenté de le nettoyer, avec mon tee-shirt… grosse erreur ! On dirait qu’il y a un genre de colle super forte dessus qui ne veut pas s’enlever (j’ai même testé avec une lingette pour nettoyer les lunettes) rien à faire…

Voilà ce que ça donne :

Je fais donc appel à vous, est-ce que vous avez des techniques, des petits trucs perso à me dévoiler pour nettoyer vos CD’s ?
J’ai pensé aussi à aller dans un magasin de jeux-vidéo, ils proposent de “polir” légèrement le CD pour enlever les traces/rayures… vous avez déjà testé ?