Le chemin le plus court – un peu de réfraction (2)

Ce billet devrait être le dernier d'une longue série, réfraction 1, réflexion 1, 2, 3, que je n'imaginais pas aussi fournie au départ, mais que les lecteurs ont eux-mêmes nourrie. C'est çà le Web 2.0, cela donne des idées à l'auteur ! Merci François de cette indication de l'American Mathematical Montly (1964) sur la démonstration de Huygens. Nous « remettons au propre » le raisonnement ici en simplifiant la figure d'époque (Wikipedia). Soit K un point qui n'est pas sur la « ligne de Fermat » AOB. On abat depuis K deux perpendiculaires, l'une sur l'axe OB (point L), l'autre sur la perpendiculaire à l'axe OA (point H). Détail de la figure, avec les angles droits, à droite.

Première étape : on étudie les triangles OKL et OKH, et on montre qu'ils sont dans le « rapport de Fermat » : sin i = HK/OK, sin r = OL/OK donc HK/sin i = OL/sin r, soit, comme sin i /V = sin r /v (par construction, billet précédent) HK / V = OL / v.

Deuxième étape : on trace (en vert) le rayon AK. Il coupe OH en un point I. On remarque que KI est l'hypoténuse d'un triangle KHI rectangle en H, donc KH < KI. On remarque aussi que IA est l'hypoténuse d'un triangle AOI rectangle en O, donc AO < AI. Pour la même raison, on a aussi BL < BK.

Troisième étape : On mesure le temps T_AKB (temps mis à parcourir la distance AKB).

T_AKB = T_AK + T_KB = T_AI + T_IK + T_KB  > T_AO + T_KH + T_KB (compte tenu de l'étape 2, puisque AO < AI et KH < KI).

Or, T_KH = HK/V et (première étape) = OL/v donc T_KH = OL/v ; or, OL/v = T_OL, donc T_KH = T_OL (c'est la conclusion de la première étape, les deux longueurs sont dans le rapport de Fermat, i.e. la lumière met un temps égal à les parcourir).

On reporte donc ci-dessus : T_AKB > T_AO + T_KH + T_KB = T_AO + T_OL + T_KB > T_AO + T_OL + T_LB puisque KB > LB. Donc T_AKB > T_AO + T_OL + T_LB = T_AOB. Donc le chemin AOB correspondant à sin i /V = sin r /v est bien le plus court. Merci Huygens !