Des fractales en 3D : de l'ensemble de Mandelbrot au volumes Mandelbulb

Voilà quelque chose qui m'a toujours fascinée et touche peut-être à des lois universelles que nous ignorons encore : les fractales. Vous en avez tous déjà vu, un coup d'oeil sur Google Images vous permettra d'en dénicher de magnifiques, et la nature ne manque pas de modèles : les flocons de neige, les fougères... ou le chou Romasnesco !

Récemment, un anglais, Daniel White, a annoncé avoir réussi à produire la représentation en trois dimensions la plus précise de l'ensemble de Mandelbrot, baptisée Mandelbulb.

Une fractale, kezako ?

C'est le mathématicien français Benoît Mandelbrot, inventeur de l'ensemble du même nom, l'une des plus illustres, qui a forgé ce terme dans les années 70. Un objet fractal se caractérise par son autosimilarité (parfaite ou approchée) : il contient des structures homologues, quelle que soit l'échelle d'observation où l'on se place. Le tout est comparable à l'une de ses parties. 

Mathématiquement, pour définir l'ensemble de Mandelbrot, on associe à chaque point C du plan complexe (fondé sur les nombres imaginaires où i est la racine carrée de -1... promis je n'insiste pas sur ce sujet ;) ) la suite z_n+1 = z_n² + C avec z₀ = 0.

Ce qui est intéressant du point de vue néophyte est que cet ensemble est borné par un cercle de rayon 2, et a donc une aire qui est finie. Alors que son périmètre lui, est infini. Ce qui explique pourquoi tout leur attrait est qu'il se passe énormément de choses à leurs frontières (il faut bien que le "périmètre s'étende") : à condition de regarder toujours plus près, dans l'infiniment petit !

Mandelbub : un volume de Mandelbrot en 3D

Une tige et une spirale, en 2D (Mandelbrot) et en 3D (Mandelbulb). Images Daniel White

Jusqu'ici des tentatives de représentations en 3D étaient basées sur différentes méthodes approximées à partir d'ensembles en 2 ou 4D : comme la rotation d'un ensemble 2D autour d'un axe central, ou sa simple élévation jouant sur les couleurs, ou encore la projection en 3D (visualisation de coupes) d'ensembles à 4D utilisant des quaternions.

Daniel White a adopté une démarche géométrique plutôt que basée sur le calcul complexe. L'équation ci-dessus revient à une rotation dans le plan complexe et une translation (un déplacement linéaire). Pour créer l'ensemble de Mandelbrot on répète pour chaque point cette action, jusqu'à ce que la suite diverge (sorte de l'ensemble)... ou plus prosaïquement jusqu'au maximum d'itérations qu'on s'était fixé ! (notre précision a ses limites)

Et dans nos représentations graphiques, on fait varier la couleur selon que la suite a divergé plus ou moins vite (nombre d'itérations effectuées) : les zones concentriques colorées reflètent la distance aux pourtours. 

Partant de là, au lieu de procéder à partir d'un plan (des points de coordonnées planes cartésiennes x, y), White s'est servi de coordonnées spatiales sphériques (x,y,z). Un confrère, Paul Nylander, a eu l'idée d'exploiter des puissances supérieures à 2 qui, à partir de 8, ont produit le résultat espéré. Un bon moteur de rendu 3D permet de "naviguer" dans le volume obtenu, comme le montrent les vidéos, certaines impressionnantes.. 

White admet qu'il ignore si c'est un "véritable" Mandelbrot en 3D, dont nul ne sait même s'il existe : après la démarche empirique il reste à faire sur le plan formel et de la recherche mathématique ! Mais l'exercice fait progresser ce qui avait été imaginé, inspire ce à quoi cela pourrait ressembler car l'analogie est parfois surprenante, et surtout produit des images époustouflantes. Le tout basé rappelons-le sur un calcul itératif fondé sur une "simple équation" ! 

Algorithme et explications sur le site de Daniel White
D'autres vidéos de Mandelbulb sur YouTube
Des articles du New Scientist et de sites francophones : ChicAndGeek , xgouchet.fr