Complètement cycloïdique ! (2)

La cycloïde, quelques idées physiques à présent : c’est la courbe suivie par un petit clou qui se serait fiché sur votre roue de vélo (la valve du vélo, comme elle n’est pas exactement au bord du cercle tournant, suit une courbe plus générale dite trochoïde). Mais tous ces noms mathématiques compliqués cachent des phénomènes physiques simples et intéressants.  J’en veux pour preuve deux propriétés physiques remarquables de la cycloïde retournée (sa symétrique par rapport à un axe horizontal), quand on y fait glisser un corps pesant comme une bille. C’est d’abord une courbe tautochrone : placez une bille en haut de la courbe, une autre au milieu, une troisième tout près du bas de la cuvette, elles arriveront toutes trois en même temps en bas de la cuvette! Cette propriété physique a été exploitée par Christiaan Huygens (1629-1695) pour construire des horloges. (voir l’animation Mathcurve)   Plus étonnant encore (figure ci-dessus), c’est une courbe brachistochrone : c’est le plus court chemin pour aller d’un point à un autre (il arrive même que le chemin remonte !). Vous croyiez que le chemin le plus rapide pour aller de A à B est la droite AB, eh bien non c’est la cycloïde ! (voir l’animation Mathcurve)   Ces deux propriétés physiques de cette courbe mathématique sont remarquables. Malheureusement les mathématiques sous-jacentes (les équations de la cycloïde) et les appellations grecques sont assez compliquées ! Est-ce pour cette raison qu’on en entend rarement parler ? Du point de vue de la physique, je me suis demandé si l’on ne pouvait pas « intuiter » (sans passer par les maths et les équations compliquées de la cycloïde) la propriété de tautochronie dans un champ de gravité (accélération constante) à partir de la définition de la cycloïde, à savoir le bord de la roue qui tourne à vitesse constante. Je me suis cassé les dents, n'ai pas trouvé... si quelqu'un a une idée ? (attention ce n'est peut-être pas possible...)