Complètement cycloïdique ! (3)

Décidément je n'arive pas à me détacher de cette cycloïde,  c'est à cause des lecteurs du blog ! Un commentateur avisé, Serma (voir son commentaire sur mon précédent billet sur la cycloïde) a bien voulu me faire passer un extrait du livre de Miguel de Guzman, Aventures mathématiques (Presses universitaires romandes, 1990). C'est avec étonnement que j'ai découvert  une autre propriété, mathématique celle-là, de la cycloïde. On a vu qu'entre deux points de rebroussement  A et B de la cycloïde, la distance était (sur l'axe des abcisses) 2PiR, soit la longueur de la circonférence.  La longueur AB est donc incommensurable avec R, le rapport est même transcendant. Et pourtant viennent se loger deux nombres entiers dans cette cycloïde, comme nous le rappelle Guzman: -  la longueur AB sur la cycloïde est égale à 8 fois le rayon (4 fois le diamètre). - la surface sous l'arche de la cycloïde est égale à 3 fois celle du cercle. Etonnant, non ? Bon, allez, j'arrête avec cet objet mathématico-physique étrange qu'est la cycloïde, cela tourne à l'obsession !