Composition fractionnaire de fonctions

Composition fractionnaire de fonctions mathématiques

Je vous propose ici une extension nouvelle de la composition de fonctions mathématiques (traditionnellement notée o). Si on note f^<2>(x) = f(f(x)) = f o f (x), f^<3> = f o f o f ,etc., alors on va définir ici des choses comme f^<1/2> ou f^<2/3>, un sujet d'étude qui, je crois, est entièrement nouveau !
$Composition fractionnaire de fonctions$
On s'intéresse ici à des fonctions continues d'un domaine D sur le même domaine, par exemple d'un intervalle réel sur lui même. Par exemple si trois fonctions f,g,h de D-->D sont telles que
   g^<2> = g o g = f et
   h^<3> = h o h o h = f,
alors on a g^<2> = h^<3> et on peut poser par convention g = h^<3/2>
De même si f o f = g alors on peut poser par convention f = g^<1/2>
Plus généralement si f^<p> = g alors par définition f = g^<1/p>
Par exemple il est facile de vérifier que (x⁴+2x²+2)^<1/2> = x²+1
On a ainsi un moyen de composer "fractionnellement" des fonctions, ou de définir des puissances fractionnaires de composition. Naturellement lorsque "l'exposant" entre crochets <> est entier, on a la composition de fonction classique avec ses propriétés usuelles, telles que l'associativité et le fait que f^<-1>(f(x)) = identité. La notation f^<-1> me semble bien meilleure que le f^-1 des américains (sans crochets), qui est détestable à cause de la confusion possible avec 1/f. Ainsi on pourrait remplacer les discutables arc sin et arg sinh par sin^<-1> et sinh^<-1> sans risque d'erreur.
Bien que l'on ait x^2<2> = (x²)² = x⁴, c'est le seul cas où f² = f^<2>. Ainsi (x²+1)^<2> =  x⁴+2x²+2 alors que (x²+1)² = x⁴+2x²+1
D'une manière générale, trouver f^<1/2> connaissant f est un problème assez difficile, trouver f^<1/3> ou f^<1/p> est encore plus ardu !
La composition fractionnaire de fonctions pose des problèmes nouveaux. Par exemple on aimerait bien que, pour toute fonction f composable avec elle-même, f^<22/7> soit "proche" de f^<355/113> parce que 22/7 et 355/113 sont les réduites successives de π en fraction continue. Peux-t-on définir cette proximité, et cette conjecture est-elle vraie ?
Autre conjecture :
lorsque p --> +∞, et pour toute fonction continue f de D sur D, lim f^<1/p> = identité
Enfin, peut-on définir des choses comme f^<π> ou f^<i>? Je serais intéressé par une expression de sin^<π> ou e^<i>!
Tous ces problèmes sont ouverts. Mathématiciens, à vous de jouer !