Un tiens vaut mieux que deux tu l'auras!

Récemment, un de mes confrères blogueur, dont je ne citerai pas le nom, a fais un certains nombre de calculs sur la vente de sa résidence principale au bout de différentes échéances. Dans ces calculs, mon confrère disait arriver à l'équilibre au bout de 7 ans, car ses calculs montraient qu'a cette date, il  tirerais de son opération une balance positive équivalente à son apport initial.
On voit souvent ce type de raisonnement, ou suite à un placement ne donnant pas les rendements attendus, l'investisseur vend son placement, en disant, au moins je n'ai rien perdu...
Or il s’avère que ce raisonnement n'est pas valide. Car la valeur de l'argent ne reste pas constante, elle est affectée, tout d'abord et sans surprise par l'inflation, mais aussi par les taux sans risques qui ont cours durant la vie du placement. Je m'explique, le raisonnement est très simple:
Supposons deux scénarios, dans le premier, je reçois 1000 euros tout de suite. Dans le deuxième je les reçois dans 3 ans. 
Dans ce premier scenario, si je plaçais mon placement sur un placement sans risque de 2%, il me rapporterai la première année 20 euros, et je serai en possession à ce moment de 1020 euros. En deuxième année, mes 1020 euros me rapporterai 20,4 euros. A la fin de la troisième année,   je serai en possession de 1061,2 euros.
Dans le deuxième scénario, je n'aurai au bout de la troisième année que 1000 euros. Clairement le scénario 1 est plus attractif. Il en découle que 1000 euros versés dans 10 ans, n'ont pas la même valeur que 1000 euros versés tout de suite, ce que la sagesse populaire exprime par "Un tiens vaut mieux que deux tu l'auras".
Si l'on se concentre sur la première année, Combien faudrais-t-il que l'on me verse au bout d'un an, pour que cette somme soit équivalente à un versement de 1000 euros tout de suite? La réponse est simple, sachant que mes 1000 euros reçu tout de suite sont placés à un taux de rendement r, mes 1000 euros auront dans 1 an une valeur de 1000*(1+r). 
Si je ne reçois que 1000 euros dans un an, c'est équivalent à un versement tout de suite de 1000/(1+r), car dans un an cette somme sera devenue par accrétion des intérêts (1000/(1+r))*(1+r) = 1000 euros.
Par extension, tout versement X dans 1 an sera équivalent, en valeur actuelle, à un versement de X/(1+r) tout de suite.
Si on formalise ce raisonnement. Soit r0 le taux sans risque et r* le taux d'inflation, la valeur d'un paiement de X euros dans 1 an est de X/(1+r*+r0). Dans 2 ans, elle est de X/(1+r*+r0)^2, et ainsi de suite. De sorte que si on prends une inflation de 2.5% et un taux sans risque de 3%, nous arrivons au bout de 7 ans, à une valeur des nos 1000 euros de seulement 687,4 euros en valeur présente (voir graphe ci dessus).
Donc clairement, si mon collègue blogueur récupère sa mise initiale dans 7 ans, c'est comme s'il avait perdu 1/3 de son apport initial réellement...
Ce type de raisonnement est appelé calcul actuariel. Il s'agit de déterminer la valeur actuelle présente de versements ayant lieux dans le futur.
Pour ceux qui souhaiterait étudier ces questions en détail, Voici la définition de la valeur actuelle nette et un cours de calcul actuariel.