Une médaille française ....Eviterons nous le chaos?

Les média forcent aujourd’hui notre attention sue notre mathématicien ,nouvelle médaille FIELD  , le  jeune brésilien naturalisé français ARTURO AVILA ….Et en politique tout est bon a prendre !Ma grand-mère dirait : «  Tout ce qui rentre fait ventre ! ».Donc  bien sûr  pour François Hollande, Artur Avila démontre « l'attractivité de la France dans le domaine de la recherche », et « confirme le rôle de tout premier plan mondial joué par les mathématiques françaises ».Laissons cette para-politique à d’autres blogueurs du site !

Mais pour ceux d’entre vous qui suivent  ce cours  informel de  facilitation à la compréhension de la physique   que constitue « LE POUVOIR DE L’IMAGINAIRE » ,ils se rappellent  mes  divers chapitres sur  la théorie du chaos   et sur les travaux de POINCARE/LYAPOUNOV/VON NEUMANN/LORENTZ  etc .Comme   nous sommes en vacances , que mon jardin après cette pluie quotidienne  , refuse de finir de se laisser tondre  , je vais me montrer indulgent  et expliquer   l’intérêt des travaux   de ce jeune chercheur ….. En partant de très bas !

Lorsqu’on  s’intéresse aux mathématiques ,on découvre rapidement l’utilité  de relier absolument la définition de la valeur d’une propriété quelconque   à un nombre EXACT .Or qu ‘est ce qui rend heureux  le mathématicien  ( de base ou professionnel) ?  C’est de pouvoir décrire  la variation continue de cette propriété  nommée f (x)  par  la variation  d’une variable x  laquelle  sera  ( selon notre volonté  TRES EXACTEMENT  continue et précise …….Hélas , l’observation  des choses du réel nous oblige  à s’écarter provisoirement des maths  pour  acquérir  par des mesures   différentes   et avec une précision limitée plusieurs  valeurs de cette  variable x   et essayer  ensuite divers  modèles de lois   reliant  f(x) et  x.Ah quel bonheur  quand il est possible  d’écrire simplement  y= f(x) = 3 x² -x +5  par exemple   et d’ en tracer une courbe « parfaite » !Nous déchantons assez vite quand la pratique  des mesures  dans le réel  nous oblige à fixer des imprécisions   sur les valeurs  de x  telles qu’elles se répercuteront nécessairement  sur   le choix de notre modèle d équation  y=f(x) ……  Voilà  une des raisons qui contribuèrent  au développement de la statistique  mathématique ……

En outre , au début du  20 ème siècle  , ce fut une surprise énorme  pour les mathématiciens et physiciens  de constater qu’en essayant  de   prouver la stabilité du Système solaire, Poincaré découvrait  un nouveau continent issu des équations rigides  de Newton et resté  jusqu'alors inexploré ! STABLE , IL NE L EST PAS !Que se passait-il ?   Poincaré   invoquait la sensibilité aux conditions initiales et/ou  leur imprécision…. Les mesures astronomiques étaient elles en définitive bien plus mauvaises que les astronomes le jugeaient ??????

Et bien non ! Et cela va me vaudra quelques remarques si je vous propose quelques  embryons d’équations , mais  tant pis ! Un système dynamique est un système  qui évolue au cours du temps de façon à la fois causale d abord , c’est-à-dire que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent ; et  déterministe ensuite , c’est-à-dire qu'à une « condition initiale » donnée à l'instant « présent » il  va correspondre à chaque instant ultérieur un et un seul état « futur » possible. L'évolution déterministe du système dynamique peut alors se modéliser de deux façons distinctes ;  soit une évolution continue dans le temps, représentée par une équation différentielle ordinaire ,soit une évolution discontinue dans le temps.

 On introduit alors un concept fort utile : l’état dynamique d’un système est décrit par son « Espace des phases »….. C’est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré… Et pour un système possédant n degrés de liberté, par exemple, l'espace des phases du système possèdera  n dimensions. En rappelant alors  qu’ une application est donc une fonction dont le domaine de définition est égal à la source ,un système dynamique discret sera  généralement défini par une application bijective F de l'espace des phases sur lui-même,et  étant donnée une condition initiale x₀ de l'état du système, le premier état suivant est :x₁=F (x₀)et ainsi de suite, de telle sorte que le n-ième état est donné par x n=Fⁿ (x₀) et pour remonter dans le passé, il suffira d’inverser la fonction F ….  LAS ! PATATRAS ! Certains exemples de  systèmes dynamiques tombent sur des cas  où se manifeste   une étrangeté de comportement  du à l’intervention d’ un attracteur (ou ensemble-limite)  qui est un ensemble ou un espace vers lequel  le  système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations.

.Pour un système dynamique différentiel , on doit considérer le cas  où  le système physique considéré est non conservatif, l'application F n'est pas bijective  et on peut   y remarquer aussi l’influence d’ attracteurs …….

De tout cela  il résulte  que des systèmes dynamiques non linéaires, ou «  de temps en temps »  linéaires peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, qui peuvent même sembler aléatoires (alors qu'il s'agit de systèmes parfaitement déterministes) et c est ce type d’ imprédictibilité  qui est appelé chaos. La branche des systèmes dynamiques qui s'attache à définir clairement et à étudier le chaos s'appelle la théorie du chaos.

Et trés précisement  ARTUR AVILA est l'auteur de plus d'une cinquantaine de publications scientifiques  consacrés  aux systèmes dynamiques qui évoluent avec le temps. Sa spécialité : déterminer la probabilité qu'un système évolue vers tel comportement ou tel autre.

 A suivre