Comment gagner des millions en faisant des mathĂŠmatiques

Les problèmes mathématiques du millénaire

… ou comment gagner des millions en faisant des mathématiques

Dans la lignée des 23 problèmes du siècle, proposés à Paris par le mathématicien allemand David Hilbert en 1900 (lors du 2ème congrès international des mathématiciens), le « Clay Mathematics Institute of Cambridge » à proposé le 24 mai 2000, à Paris (comme Hilbert 100 ans plus tôt), une liste de 7 problèmes mathématiques non résolus, dotés chacun d’un prix de 1 million de dollars américains !

Inutile de vous dire qu’en plus de susciter quelques débats entre les « pour » et les « contre », ça a fait du bruit ! Et au fond, plus que la somme, c’est bien ce qui compte. En effet l’institut de mathématiques Clay, fondé en 1998 par Landon T. Clay, homme d’affaires de Boston et ancien étudiant d’Harvard, a pour but d’améliorer les connaissances mathématiques ainsi que leur diffusion. Donc tout ce qui participe de la médiatisation de ces 7 problèmes est le bienvenu !

Notez que l’un de ces problèmes ne nécessite pas forcément de connaissances importantes en mathématiques pour être résolu, alors tentez votre chance !

Pourquoi ces problèmes ?

Parce-qu’ils sont (pense-t-on) de première importance pour les mathématiques, potentiellement la physique, l’innovation. Parce-qu’ils permettraient d’ouvrir un nombre innombrables de pistes, posant de nouvelles questions et dévoilant de nouvelles perspectives. Parce-qu’ils obligeront à des approches révolutionnaires et de nouvelles méthodes résolution et… qu’ils sont très difficiles et représentent en eux même un défi. Notez qu’on ne sait jamais si une énigme apportera vraiment quelque chose une fois résolue mais là… on a quand même de forts soupçons ;).

Ă€ ce prix là, vous comprendrez que la liste ait été limitée à 7 problèmes. De plus, Clay s’est bien assuré de ne pas choisir les plus faciles. Certains des problèmes proposés par Hilbert 100 ans plus tôt ont été résolus presque immédiatement* !

* Hilbert, pressé par le temps, n’expose en réalité le mercredi 8 aoĂťt 1900 que 10 de ses 23 problèmes. Il ne publiera le texte complet de son exposé qu’en 1902, en allemand et en anglais. Chose amusante, le « 3ème problème de Hilbert » ne fait même pas partie de la liste des 10 problèmes exposés oralement au congrès !… Pourtant c’est celui qui va être résolu le plus rapidement. En 1900, Max Dehn trouve un contre-exemple… boom, problème torché avant même sa publication ! En fait il se peut même que Dehn ait eu la solution avant que Hilbert ne présente ce problème vu que… Dehn était l’élève de Hilbert. Dehn deviendra par la suite un des plus éminents spécialistes en topologie, notamment des variétés en dimension trois (variétés au sens topologique – c’est à dire un espace assimilable localement à un espace euclidien / plan). Son héritage le plus important n’est finalement pas la résolution de ce médiatique problème.

Liste des problèmes

Déjà, un grand merci à Lê de Science4All pour ses précieux commentaires ! Pour les amateurs de mathématiques nous recommandons vivement sa chaîne Youtube et son blog. C’est un vrai matheux qui sait de quoi il parle et un excellent vulgarisateur.

Note au lecteur : Attention, nous ne sommes pas mathématiciens, ni physiciens des particules. Il s’agit de problèmes de très haut niveau, bien bien au dessus du notre, et dont nous donnons ci-dessous une tentative de vulgarisation qui vaut ce qu’elle vaut, nous vous demandons de ne pas y accorder trop de crédit. Il s’agit d’un exercice et d’une proposition, pas d’un article qui vous livrera les secrets de ces problèmes, au mieux, vous aurez les énoncés, alors prenez le comme tel. Heureusement dans certains cas nous avons trouvés des vidéos explicatives plus fiables que notre bla-bla-bla approximatif. Ceci étant dit, comme dans certains cas vous aurez les énoncés, à vous de jouer !

Théorie de Yang-Mills (introduite dans les années 1950)

En physique, vous avez 4 forces fondamentales, nous les citons pour info mais sans rentrer dans le détail de chacune d’entre elles : les forces électromagnétiques, les forces nucléaires faibles, les forces nucléaires fortes, la gravité.

Yang et Mills ont construit un modèle pour décrire les interactions nucléaires faibles. Or en étendant ce « type » de modèles aux autres forces, on s’est rendu compte que ça décrivait aussi très bien les autres interactions. De plus ce modèle marche très bien expérimentalement et les simulations informatiques le vérifient et lui donnent aussi raison… à tel point que les modèles de ce type forment aujourd’hui la base conceptuelle de notre modèle physique standard ! Puissant non ? Cependant les outils mathématiquement utilisés dans ces modèles (géométrie différentielle, espaces fibrés, théorie des groupes) restent mal compris dans les sens où certaines propriétés ne sont pas démontrées, dans le sens où on ne sait résoudre les équations associées que dans certains cas particuliers (ce sont des équations très compliquées, hautement non linéaires, faisant intervenir des géométries riches et complexes… du lourd).

Si vous pouvez démontrer que cette théorie est cohérente et que les particules qu’elle prévoit ont une masse non nulle (et donc ne vont pas à la vitesse de la lumière), vous pouvez passer voir votre banquier, il va être pour une fois ravi de vous recevoir 

En physique, au niveau macroscopique, chaque force a son modèle.
. Pour décrire la force électromagnétique (force de Lorentz) il y a les équations de Maxwell.
. Pour décrire la force de gravité, on a eu Newton (la gravité est une force qui dépend de la masse des objets et qui fait qu’ils s’attirent), puis la théorie de la relativité générale (l’attraction des objets est due à une déformation de l’espace temps imprimée par leur masse). La relativité générale est un modèle qui fonctionne aussi avec des objets super-massifs et vient remplacer Newton en… remplaçant aussi le concept de « force »… aĂŻe (pour le reste Newton ça marchait déjà très bien).
. Pour décrire les forces nucléaires fortes et faibles (oui nous vous parlions de 4 forces en tout), on a aussi fait des modèles macroscopiques, bien qu’il s’agisse de forces qui ne sont mesurables qu’au niveau microscopique (taille de l’atome et en dessous).
En général au niveau microscopique les modèles macroscopiques ne marchent plus donc on utilise la physique quantique ! Et pour y décrire comment se comportent ces forces on transpose un modèle macroscopique vers un modèle quantique, ça s’appelle la « quantification ». Quand c’est pour décrire quelque chose de simple (un atome d’hydrogène seulement constitué d’un proton – lui même composé de 3 quarks – et d’un neutron qui tourne autours), on y arrive assez bien. Par contre dès qu’il s’agit de quelque chose de plus compliqué… oups on ne sait plus transposer formellement du modèle macro vers le modèle micro, alors on cuisine, on approxime et… on y arrive à peu près (sauf dans le cas de la force de gravité mais ce n’est pas notre sujet).

Maintenant place aux vrais experts

L’hypothèse de Riemann (1859)

Les nombres premiers sont des nombres qui ne donnent un résultat entier que s’ils sont divisés par 1 ou par eux même. Par exemple :  2 ou 3 ou 7.

Depuis Euclide (300 ans avant Jésus-Christ) on sait qu’il y a une infinité de nombre premiers.

Ce que suppose Riemann, c’est qu’on ne peut pas prédire précisément, à partir d’un nombre premier, où se trouve le suivant, mais qu’ils se situent tous dans une même zone – à la fois aléatoires individuellement et unis par « quelques choses » dans l’ensemble. Un peu comme quand vous jouez à pile ou face, vous ne pouvez pas prédire avec certitude si vous allez tomber au prochain coup sur pile ou sur face. Mais globalement, après beaucoup de jets de votre pièce, en moyenne vous serez à peu près aussi souvent tombés sur pile que sur face.

Concrètement Riemann reprend une fonction d’Euler. La fonction zêta (Îś) telle que : Îś(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + … etc. jusqu’à l’infini.

Cette fonction a l’avantage, en dépit d’avoir une infinité de termes, d’avoir une valeur finie pour certaines valeurs de « s ». De plus Euler a déjà montré que pour tout s > 1, Îś(s) est le produit infini des 1/(1-(1/p)^s) pour tous les « p » premiers.

Riemann prend « s » parmi les nombres complexe (un nombre complexe est tel que s = a + ib, avec « a » et « b » des nombres réels, et « i » tel que i² = -1), et dans ce cas cette fonction devient la fonction de Riemann.

Riemann conjecture alors que les « s » non triviaux (ici « non triviaux » veut dire non entiers pour résumer) tels que Îś(s) = 0 sont sur une même droite et peuvent s’écrire : s = 1/2 + ib. On sait que c’est vrai pour les 10.000.000.000.000 premières solutions de cette équation en 2015 (parce qu’on l’a calculé), mais on ne sait pas encore le démontrer formellement.

Place aux experts !

Le problème P versus NP : Le plus accessible, celui-ci ne nécessite pas forcément des connaissances mathématiques importantes et pourrait être résolu par un raisonnement innovant.

En mathématiques des algorithmes et théorie de la complexité :

– Un problème P est un problème « facile » à résoudre. Entendez par là qu’il peut se résoudre en temps « polynomial », c’est à dire dont le temps de calcul est au plus un polynôme de la « taille » de l’entrée du problème. C’est à dire en temps qui ne croit « pas trop vite ».
Exemple : le nombre d’opérations qu’un ordinateur est obligé d’effectuer pour additionner deux nombres à « n » chiffres. Plus « n » est grand, plus l’ordinateur doit faire d’opérations élémentaires pour calculer la somme. En comptant l’addition de chaque chiffres d’un nombre, et celui des retenues, disons que la quantité d’opérations pour additionner 2 nombres à « n » chiffres est égal à 3n (sommer 1234 et 5678 nécessite 12 opérations élémentaires). Donc plus le chiffre est « grand », plus c’est long à calculer. Ceci-dit le temps pour faire la somme en fonction de la taille du nombre croit de l’ordre de 3n, donc pas trop vite. Nous sommes en temps polynomial.

– Un problème NP est un problème dont les solutions sont faciles à vérifier. Entendez par là qu’elles peuvent se vérifier aussi en temps « polynomial ».

Un exemple classique est celui du Sudoku. Ça peut être dur à résoudre, mais on peut vérifier facilement s’il a été “bienâ€� résolu.

Exemple récapitulant P et NP:

Le problème suivant est P : x + 1 = 2 >> Il est facile à résoudre : x = 2 – 1 = 1.
Si je prend 1000 x + 1000 = 2000, il est un peu plus long de calculer que x = 1000, mais ça va encore. Quand on « grossit » le problème, il se résout encore dans un temps qui est polynomial.

Le problème suivant est NP : x + 1 = 2 >> Il est facile de vérifier que « x = 1 » est une solution au problème et que « x = 2 » n’est pas une solution au problème. Le temps de vérification est polynomial, comme ci-dessus, pour vérifier que x = 1000 est solution de 1000 x + 1000 = 2000, et vérifier que x = 2000 ne l’est pas.

On voit ici que P est inclus dans NP : quand un problème peut se résoudre en temps polynomial, ses solutions peuvent aussi se vérifier en temps polynomial.

Question : Est-ce que NP est aussi inclus dans P, et donc au final est-ce que P = NP ? Ce qui peut se vérifier en temps polynomial peut il se prouver en temps polynomial ? Ou bien P est il différent de NP ? Ou bien… est-il indémontrable que P est égal ou différent de NP* ?

* En tout cas dans le système d’axiomes classiquement utilisé en mathématiques ZFC (Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix).

Place aux experts !
(à partir de 23:59)

Équations de Navier-Stokes

Ce sont des équations qui décrivent le mouvement des fluides « newtoniens », et qui fonctionnent très bien ! Sauf que… à part dans des cas très simples, on ne sait même pas s’il existe des solutions à ces équations.

Ici le défi est de démontrer si elles ont bien des solutions dans les 3 dimensions de l’espace… ou pas ? Si oui une ou des solutions continues ? Stables ? Qui ne donnent pas de résultats physiquement irréalistes ?

Place aux experts !
(à partir de 25:06)

La conjecture* de Hodge : Proposée par le Britannique Sir Hodge en 1950

* Une conjecture est une supposition ou forte présomption non démontrée (fondée par exemple sur des probabilités).

Énoncé : la conjecture de Hodge affirme que pour une classe d’espace suffisamment « sympathique » : les variétés algébriques projectives, les cycles de Hodge sont des combinaisons linéaires rationnelles d’objets ayant une réelle nature algébrique : les cycles algébriques… Ouf’…

Alors attention, c’est probablement la plus difficile à appréhender, son niveau d’abstraction est très élevé.

Revenons un peu en arrière. Avant, la géométrie, c’était des dessins, mais ça… c’était avant. Déjà Descartes au 17ème siècle comment à utiliser l’algèbre pour faire de la géométrie. Il « met en équations » les premières formes géométriques.
Par exemple : si vous posez « x » sur un axe horizontal et « y » sur un axe vertical, alors les coordonnées solutions de x² + y² = 1 forment un cercle de rayon « 1 » centré sur le point de coordonnées (0,0). De la même manière si on complique un peu avec une 3ème dimension « z », les coordonnées solutions de x² + y² = z² va former un cône.

Ensuite au cours du 19ème siècle, on a commencé non pas à mettre en équation des formes géométriques qu’on pouvait visualiser comme des ronds ou des triangles, mais à créer des formes géométriques par l’algèbre, qui ne sont que de pures équations, impossibles à dessiner ou à voir, mais qui mathématiquement existent bel et bien ! Remplacez par exemple les x, y et z de notre équation précédente, non pas par des nombres réels mais par des nombres complexes ou des « objets » mathématiques plus exotiques… mathématiquement c’est toujours ok mais concrètement on ne voit plus de dessins.

Ensuite ensuite ? Ben ensuite on a rajouté une couche de calcul différentiel, afin qu’il n’y ait même plus d’équation formelle décrivant des objets (certes non « traçables », mais au moins jusqu’ici décrits par des équations bien concrètes). En fait on a fait des sommes d’équations et de transformées d’équations et d’équations implicitement définies par certaines de leur propriétés (comme leurs dérivées) qui ne suffisent même plus à les décrire entièrement. J’entend pas là par exemple l’utilisation de fonctions qui se décrivent elles mêmes comme « je suis une fonction telle que si tu me grattes le ventre je dis : ha-ha-ha »… mwé c’est juste un exemple :).

Hodge dit que : tout comme il a été possible de mettre en équations des objets géométriques il y a 400 ans, il est aussi possible de décrire certains objets géométriques avec encore d’autres outils d’autres domaines des mathématiques comme la topologie ou la géométrie différentielle complexe.

Alors si vous voulez en savoir plus je vous recommande d’acheter en ligne ce magazine.

Place aux experts !

La conjecture de Poincaré formulée en 1904 par Henri Poincaré : Déjà démontré !

Démontré en 2003 par Grigori Perelman, vous pouvez trouver la démonstration en français ici.

Prenez une boucle élastique capable de se contracter ou de s’étirer à l’infini. Placez la à la surface d’une sphère. Il est alors possible, sans lui faire quitter la surface du ballon, de la déformer jusqu’à la réduire à un point sans la déchirer.

Ă€ la surface d’un tore (qui a la forme d’un donut ou d’une chambre à air), pour une boucle élastique qui fait le tours du tore, cette opération est impossible.
Il s’agissait de démontrer que cette propriété était vraie en dimension 3.

Sa formulation initiale était : « Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. ».

Pour simplifier :

En dimension 1 dans un plan à 2 dimensions : prenez une ligne (1 dimension) tordue, sinueuse, et qui reboucle sur elle-même, posée sur une feuille (un feuille c’est un plan en 2 dimensions). Si cette ligne est élastique, vous pouvez la déformer et obtenir un joli cercle bien régulier.

En dimension 2 (une surface) dans un espace à 3 dimensions comme le notre : prenez une patate, bosselée, sinueuse, comme vous voulez mais sans trous. Imaginez que la peau, la surface de cette patate, soit élastique. Eh bien on peut la déformer jusqu’à obtenir une sphère.

En dimension 3 (un volume) dans un espace à 4 dimensions (oui ça existe en mathématiques les espaces à 4, 5, N dimensions – autant que vous voulez en fait) : là on ne savait pas, et c’est ça que la conjecture de Poincarré énonçait.

En dimension 5 (et plus) l’américain Smale l’avait démontré en 1960, et en dimension 4 Freedman (un autre américain) l’avait démontré en 1981. Il fallut attendre 2004 pour trouver le chaînon manquant de la dimension 3.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (début des années 1960)

Encore une conjecture assez balaise, même pour un mathématicien, se plonger dans cette conjecture demanderait quelques jours.

Commençons par le commencement : un entier relatif est un nombre entier positif ou négatif, par exemple : – 6, -2, 0, 5, 31.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer par le quotient de deux entiers relatifs, par exemple 1/2, 1/3, 4/5, ou même 10/2 qui vaut 5.

Une ellipse se décrit par une équation algébrique de type : y² + aâ‚�xy + a₃y = xÂł + aâ‚‚x² + aâ‚„x + a₆.

Un groupe en algèbre est un ensemble d’éléments, prenons par exemple l’ensemble des nombres entiers relatifs, munis d’une opération (loi), prenons l’addition « + ». La « loi » doit être associative (c’est à dire que 1 + (2 + 3) = (1 + 2 )+ 3). Le groupe doit aussi avoir un « élément neutre », c’est à dire que composé avec la loi il laisse les autres éléments inchangés, ici ce serait 0 (3 + 0 = 3, 3 est inchangé par l’addition du 0). Chaque élément du groupe doit aussi avoir un élément de symétrie, tel que composés ensemble par la loi on retrouve l’élément neutre. Ici par exemple, 3 + (-3) = 0. Donc 3 à un élément symétrique (-3) qui composé avec lui par addition donne 0 l’élément neutre, et c’est vrai pour tout élément des entiers relatifs, donc les entiers relatifs avec pour loi l’addition forment un groupe algébrique.

Un groupe « abélien » est un groupe au sein duquel le résultat d’une opération entre deux éléments du groupe ne dépend pas de l’ordre dans lequel on prend les éléments (par exemple 1 + (2 + 3) = (2 + 3) + 1).

Et là une autre fonction zêta, la fonction zêta de Hasse-Weil !

Eh bien leur conjecture dit : pour toute courbe elliptique sur le corps des rationnels, l’ordre d’annulation en 1 de cette fonction zêta associée est égal au rang de la courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non nul dans le développement limité en 1 de cette fonction zêta de Hasse-Weil.

Autrement dit ? Quand les solutions sont des points d’une variété (au sens topologique, cf. ci-dessus) abélienne, la taille du groupe de ces points (solutions de cette fonction zêta) sur le corps des rationnels est corrélée au comportement de la fonction zêta de Hasse-Weil Îś(s) à proximité de s = 1. En particulier cette conjecture dit que si Îś(1) = 0, alors il y a une infinité de solutions rationnelles, et si Îś(1) ≠ 0, alors il y a un nombre fini de solutions rationnelles.

Alors on sait le démontrer pour des cas particuliers, mais aujourd’hui en 2015 pas encore dans le cas général décrit par la conjecture.

Allez, au boulot !