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Pour les terminales S : Exercice pour les vacances

Publié le 30 juin 2008 par Guy Marion
Un exercice des années 60, niveau terminale S de l'époque .(math-élem.)
( il s'agit de la définition d'une fonction que vous allez reconnaître)

Définition d'une application de ]0\,,\,+\infty[ dans \mathbb{R}.
Partie I - Des racines ...
A tout x\,>\,0 on associe la suite (w_{n}) définie par w_{0}\,=\,x et \forall\,n\in\mathbb{N}\;w_{n+1}=\sqrt{w_{n}}
1. Etudier le cas x=1.
2. Soit (w_{n}) et (w_{n}^{'}) les suites ainsi associées à 2 réels x et x^{'} , et \large W_{n} celle associée au produit xx{'}. Montrer que \forall n\in\mathbb{N}\;\large W_{n}=w_{n}w_{n}^{'}.
3. Soit w_{n} et w_{n}^{'} les suites ainsi associées à x et \frac{1}{x}. Montrer que : \forall\,n\in\mathbb{N}\;w_{n}^{'}=\frac{1}{w_{n}}.
4. On suppose ici que x\,>\,1. Montrer que w_{n} est minorée par 1, décroissante, convergente vers 1.
5. Déduire du I.3 le comportement de w_{n} quand x\,>\,1.
En conclusion : \forall\,x\,>\,0\;\;w_{n} est convergente vers 1.
Partie II - Etude numérique d'une seconde suite
A tout x\,>\,0 on associe la suite (t_{n}) définie par \forall\,n\in\mathbb{N}\;t_{n}=2^{n}(w_{n}-1).
1. Quelle aide le cours sur "convergence et opérations" apporte-t-il à l'étude de la suite t_{n} ?
2. Démontrer que \forall\,n\in\mathbb{N}\;t_{n+1}=\frac{2t_{n}}{1+w_{n+1}} .
(On pourra utiliser une astuce de "quantité conjuguée").
3. Voici un algorithme :
A_{1} données N, W
T\longleftarrow 2^{N}(W-1);\\\text{noter}\,N\,,\,T\\N\longleftarrow N+1;\\W\longleftarrow\sqrt{W}
A_{2} données N, W, T
W\longleftarrow\sqrt{W};\\T\longleftarrow\frac{2T}{W+1};\\N\longleftarrow N+1;\\\text{noter}\,N\,,\,T
a. Expliquer en quoi A_{1} ou A_{2} peut permettre de construire un tableau de la suite (t_{n}). (Etudier ce qui se passe quand les données sont N=n) et W=w_{n} dans (A_{1}) , N=n , W=w_{n} et T=t_{n} dans (A_{2}).
b Seulement si ça vous intéresse : Essayez de trouver en quoi un des 2 algorithme est préférable à l'autre.
c. Conjecturer sur ce tableau des propriétés de (t_{n}).
Partie III - Où on lève l'indétermination
1. Montrer que (t_{n}) est décroissante.
2. On suppose ici que x>1. Montrer que (t_{n}) est convergente.
3. Soit (t_{n}) et (w_{n}) les suites associés à x ,(t_{n}^{'}) et (w_{n}^{'}) celles associées à \frac{1}{x}. Montrer que \forall n\in\mathbb{N}\;\;t_{n}^{'}=\frac{-t_{n}}{w_{n}}.
4. En déduire que pour x\,<\,1 , (t_{n}) est convergente.
Conclusion : Pour tout x\,>\,0 , la suite (t_{n}) est décroissante et convergente vers un réel qu'on notera l(x).
On définit alors une application :
l\,:\,\mathbb{R}_{+}^{*}\,\longleftarrow\,\mathbb{R}.
Partie IV - Propriétés de l'application l
1. Montrer que l(1)=0.
2. Soit (t_{n}) et (w_{n}) les suites associées à x ,(t_{n}^{'}) et (w_{n}^{'}) celles associées à y , W_{n} et T_{n} celles associées à xy. Montrer que \forall n\in\mathbb{N}\;\;t_{n}=t_{n}w_{n}^{'}+t_{n}^{'}.
3. En déduire que \forall x\,>\,0\; y\,>\,0\;\;l(xy)=l(x)+l(y).
4. Montrer que l est une application croissante sur \mathbb{R}_{+}^{*} (On pourra, pour x\,<\,x' , poser x'=xy avec y\,>\,1 et utiliser la question IV.2).
Partie V - Construction approchée de la courbe représentative de l
1. Montrer que pour tout x\,>\,0 et pour tout entier naturel n, on a l(x)\,\leq\,t_{n}.
2. En déduire que pour tout x\,>\,0 et pour tout entier naturel n , \frac{t_{n}}{w_{n}}\,\leq\,l(x)\,\leq\,t_{n}.
3. Avec pour tout n=10 et les outils numériques du II, quels encadrements obtient-on ainsi pour l(2)\,,\,l(3)\,,\,l(5)\,,\,l(7)\,,\,l(11) ?
4. Ebaucher sur une figure soignée l'allure de la courbe représentative de l dans un repère orthonormé.
Partie VI - Dérivabilité de l
1. Déduire de V.2 que pour tout x\,>\,0\;\;\frac{x-1}{x}\,\leq\, l(x)\,\leq\, x-1 puis que l est dérivable en 1 de nombre dérivée 1.
2. Soit x\,>\,0. Déduire de VI.2 et IV.2 que l est dérivable en x de nombre dérivée \frac{1}{x}.

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