Une transformation du plan qui n'est pas une similitude

Publié le 22 mars 2010 par Lallemand
Nous avons vu dans le cours que, par définition, une transformation du plan est une application bijective du plan dans lui-même. Nous nous plaçons ici, comme dans le cours, dans le plan euclidien usuel muni d'un repère orthonormé $\left( O;\vec{u},\vec{v}\right)$, que nous confondrons avec l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.
Lors du cours sur les similitudes, un élève a demandé s'il existait des transformations planes qui ne soient pas des similitudes. La réponse est oui, et nous allons en étudier un exemple très simple.
Notons $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, par : $$\forall x\in \mathbb{R}, f(x)=x^3.$$
On sait que cette fonction est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Soit $Z$ la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par : $$\forall z\in \mathbb{C}, f(z)=z^3.$$
Montrons que $Z$ réalise une bijection de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$.
  • Soit $z$ un nombre complexe quelconque. Nous devons montrer que $z$ possède un unique antécédent par la fonction $Z$.
 Soit $R\in[0;+\infty[$ et $\theta\in[0;2\pi[$ tels que $$z=Re^{i\theta}\textrm{ (forme exponentielle de }z).$$La fonction $f$ étant bijective, il existe un unique réel $r$ tel que $r^3=R$. Posons alors :
$$c_0=re^{i\frac{\theta}{3}}$$
On a :
$$(c_0)^3=r^3 \left(e^{i\frac{\theta}{3}}\right)^3=Re^{i\theta}=z$$ donc $c_0$ est un antécédent de $z$ pour la fonction $Z$.
  • Soit $c_1$ un autre antécédent de $z$ par la fonction $Z$.
Alors :
$$\left|c_1\right|^3=\left|c_1^3\right|=\left|z\right|=\left|c_0^3\right|=\left|c_0\right|^3$$
La fonction cube $f$ étant bijective, on obtient $\left|c_1\right|=\left|c_0\right|=r$.
Le nombre $\dfrac{c_1}{c_0}$ est donc un nombre complexe de module 1. On sait qu'il peut alors s'écrire sous la forme $e^{i\alpha}$, où $\alpha\in[0;2\pi[$. On a alors :
$$\left(\dfrac{c_1}{c_0}\right)^3=\dfrac{c_1^3}{c_0^3}=\dfrac{z}{z}=1\Leftrightarrow \left(e^{i\alpha}\right)^3=1\Leftrightarrow e^{3i\alpha}=1$$
On en déduit que : $$3\alpha\equiv 0 (2\pi)\Rightarrow \alpha\equiv 0 (2\pi)$$ et donc $$\dfrac{c_1}{c_0}=e^{i\alpha}=1$$ et finalement $c_1=c_0$.
  • $z$ admet donc un unique antécédent pour la fonction $Z$. Cette fonction est donc bijective de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ et ce n'est pas une similitude car sa forme complexe n'est pas celle d'une similitude.

Image d'un carré par la transformation $Z$ :



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Image d'un cercle :


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