Pour les terminales S : Exercice pour les vacances

Un exercice des années 60, niveau terminale S de l'époque .(math-élem.)
( il s'agit de la définition d'une fonction que vous allez reconnaître)
Définition d'une application de dans .
Partie I - Des racines ...
A tout \,0" border="0" title="x\,>\,0" /> on associe la suite définie par et
1. Etudier le cas .
2. Soit et les suites ainsi associées à 2 réels et , et celle associée au produit . Montrer que .
3. Soit et les suites ainsi associées à et . Montrer que : .
4. On suppose ici que \,1" border="0" title="x\,>\,1" />. Montrer que est minorée par 1, décroissante, convergente vers 1.
5. Déduire du I.3 le comportement de quand \,1" border="0" title="x\,>\,1" />.
En conclusion : \,0\;\;w_{n}" border="0" title="\forall\,x\,>\,0\;\;w_{n}" /> est convergente vers 1.
Partie II - Etude numérique d'une seconde suite
A tout \,0" border="0" title="x\,>\,0" /> on associe la suite définie par .
1. Quelle aide le cours sur "convergence et opérations" apporte-t-il à l'étude de la suite ?
2. Démontrer que .
(On pourra utiliser une astuce de "quantité conjuguée").
3. Voici un algorithme :
données N, W

données N, W, T

a. Expliquer en quoi ou peut permettre de construire un tableau de la suite . (Etudier ce qui se passe quand les données sont ) et dans , , et dans .
b Seulement si ça vous intéresse : Essayez de trouver en quoi un des 2 algorithme est préférable à l'autre.
c. Conjecturer sur ce tableau des propriétés de .
Partie III - Où on lève l'indétermination
1. Montrer que est décroissante.
2. On suppose ici que x>1. Montrer que est convergente.
3. Soit et les suites associés à , et celles associées à . Montrer que .
4. En déduire que pour , est convergente.
Conclusion : Pour tout \,0" border="0" title="x\,>\,0" /> , la suite est décroissante et convergente vers un réel qu'on notera .
On définit alors une application :
.
Partie IV - Propriétés de l'application
1. Montrer que .
2. Soit et les suites associées à , et celles associées à , et celles associées à . Montrer que .
3. En déduire que \,0\; y\,>\,0\;\;l(xy)=l(x)+l(y)" border="0" title="\forall x\,>\,0\; y\,>\,0\;\;l(xy)=l(x)+l(y)" />.
4. Montrer que est une application croissante sur (On pourra, pour , poser avec \,1" border="0" title="y\,>\,1" /> et utiliser la question IV.2).
Partie V - Construction approchée de la courbe représentative de
1. Montrer que pour tout \,0" border="0" title="x\,>\,0" /> et pour tout entier naturel , on a .
2. En déduire que pour tout \,0" border="0" title="x\,>\,0" /> et pour tout entier naturel , .
3. Avec pour tout et les outils numériques du II, quels encadrements obtient-on ainsi pour ?
4. Ebaucher sur une figure soignée l'allure de la courbe représentative de dans un repère orthonormé.
Partie VI - Dérivabilité de
1. Déduire de V.2 que pour tout \,0\;\;\frac{x-1}{x}\,\leq\, l(x)\,\leq\, x-1" border="0" title="x\,>\,0\;\;\frac{x-1}{x}\,\leq\, l(x)\,\leq\, x-1" /> puis que est dérivable en 1 de nombre dérivée 1.
2. Soit \,0" border="0" title="x\,>\,0" />. Déduire de VI.2 et IV.2 que est dérivable en de nombre dérivée .