Palindrome de 196

palindrome par puja (flickr)

Prenons un nombre au hasard : 1729. Ecrivons-le à l’envers : 9271 et additionnons les deux nombres : 1929+9271=11000. Recommençons avec ce nombre : 11000+00011 = 11011.

Ce nombre est égal à lui même écrit à l’envers, c’est un nombre “palindrome“, comme le mot “radar” ou la phrase “élu par cette crapule” si on ne tient pas compte des espaces, ou encore “le grand palindrome“, un texte de 5566 lettres écrit par Georges Perec en 1969.

Tiens, refaisons le calcul avec 1969 pour voir :
1969+9691 = 11660
11660+06611 = 18271
18271+17281 = 35552
35552+25553 = 61105
61105+50116 = 111221
111221+122111 = 23332 : palindrome !

Bizarre n’est-ce pas ? En fait on peut prendre n’importe quel nombre de départ, et la séquence d’opérations arrive inévitablement à un nombre palindrome en un nombre fini d’itérations. C’est du moins ce que l’on conjecture, car il y a deux problèmes :

1. nos amis mathématiciens n’ont aucune idée de la raison qui fait que ça marche, entre autre parce que “écrire un nombre en base 10 à l’envers” n’a pas de signification mathématique simple.
2. il y a un gros hic. Si on commence avec 196, on n’arrive pas à un palindrome même après 300 millions d’itérations…

196 est le plus petit des “nombres de Lychrel” (en l’honneur de Cherly, la petite amie du matheux qui a proposé cette propriété) : les nombres qui n’aboutissent apparemment pas à un palindrome … Dans ces nombres se trouvent évidemment ceux produits à chaque itération à partir de 196, mais aussi quelques autres.

Ce qui est intéressant aussi, c’est la distribution du nombre d’itérations : très souvent, on atteint le palindrome en quelques étapes, même pour de très grands nombres, mais quelques rares nombres demandent quelques étapes de plus

Par exemple pour les nombres de 1 à 99, on arrive à un palindrome en 4 itérations ou moins  pour 98 nombres, 79 et 97 ont besoin de 6 itérations, mais 89 et 98 nécessitent 24 itérations.

Pour les nombres de 1 à 999, 929 atteignent le palindrome en 6 itérations ou moins, 13 sont des nombres de Lychrel et les 57 restant ont besoin de moins de 24 étapes : 89 et 98 sont toujours les plus gourmands en itérations

Poussons jusqu’à 10′000 : à part les 246 nombres de Lychrel, il n’y a toujours pas d’autre nombre que 89 et 98 qui nécessite plus de 24 itérations.

La quête du “palindrome le plus retardé” a donné ces résultats :

 Nombre  Iterations     Palindrome
 10911         55    4668731596684224866951378664
 147996        58    8834453324841674761484233544388
 150296        64    682049569465550121055564965940286
 1000689       78    796589884324966945646549669423488985697
 1005744       79    796589884324966945646549669423488985697
 1017501       80    14674443960143265333356234106934447641
 7008899       82    68586378655656964999946965655687368586
 9008299       96    555458774083726674580862268085476627380477854555
 100239862     97    1345428953367763125675365555635765213677633598245431
 140669390     98    1345428953367763125675365555635765213677633598245431
1090001921     99    6634544448788301675886446885761038878444454366
1009049407    101    1543434266587555114779722279774115557856624343451
1050027948    104    5831124885795990016569666669656100995975884211385
1304199693    105    5831124885795990016569666669656100995975884211385
1005499526    109    66330069478378985774345546664554347758987387496003366

on voit que le nombre maximal d’itérations requises n’augmente que très lentement, ce qui rend les nombres de Lychrel encore plus intriguants et exceptionnels.

A propos : j’ai commencé cet article par mon nombre fétiche 1729 parce que celui de Zinzin, 1548 est peu intéressant : 1548+8451 = 9999. Ou alors, 30 ans plus tard, je viens de découvrir une nouvelle propriété de ce nombre …

Références:

• forum avec un bout de code Python pour le calcul de palindromes
• 196-Algorithm sur MathWorld