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Suite de Syracuse (ou de Collatz)

Publié le 22 septembre 2008 par Guy Marion

En mathématiques, on appelle suite de Syracuse, une suite d'entiers naturels définie de la manière suivante :

On part d'un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.

Autrement dit :
pour tout i > 0

- Si Ui est pair alors U i+1 = Ui / 2
- Si Ui est impair alors Ui+1 = 3×Ui + 1

Par exemple, à partir de 14, on construit la suite des nombres : 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2… C'est ce qu'on appelle la suite de Syracuse du nombre quatorze.

Après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs (1,4,2,1,4,2…) se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.

Si l'on était parti d'un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de départ n'atteigne jamais la valeur 1, soit qu'elle aboutisse à un cycle différent du cycle trivial, soit qu'elle diverge vers l'infini. Or, on n'a jamais trouvé d'exemple de suite obtenue suivant les règles données qui n'aboutisse à 1 et, par suite, au cycle trivial.

La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz, est l'hypothèse mathématique selon laquelle les suites de Syracuse de tous les nombres strictement positifs atteignent le cycle trivial (1,4,2,1,4,2…)

En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture continue de défier les mathématiciens. Paul Erdős a dit à propos de la conjecture de Syracuse : « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ».

A l'ère du pétaoctet , je veux dire avec la puissance de calcul fantastique des ordinateurs actuels ,on est capable de vérifier cette conjecture pour des valeurs extrêmement grandes du nombre choisi pour "démarrer" la suite, mais on ne sait toujours pas la démontrer.

Mille milliards d'exemples ne constituent pas une preuve ! (parce qu'ils ne pèsent rien par rapport à l'infinité des cas possibles)

Gare à ceux qui vont conclure à partir de 3 ou 4 exemples dans le prochain DS.

Exercice à chercher pour le 23 septembre (pour les 1° S)
Dans cette suite de Syracuse particulière , on sait que Un = 1 et U1 = 6144 ;
Que vaut Un-9 ?
Pour visualiser "un vol " de Syracuse , c'est à dire la trajectoire déterminée en joignant les premiers termes d'une suite de Syracuse jusqu'à l'arrivée du premier 1 (et aussi pour vérifier votre réponse )
vous pouvez cliquer ici


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LES COMMENTAIRES (1)

Par fabientoulgoat
posté le 24 septembre à 00:41
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bonjour, pouvez vous me donner votre avis sur ce que j'ai fait ici: http://syracuse-collatz.blogspot.com/ merci :)

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