Les Probabilités et le Loto

La probabilité, voici une notion quotidienne qui n’est pas toujours bien comprise par tous. Je vais donc essayer de vous dresser un petit aperçu de la fonction et des possibilités des probabilités ainsi que leur utilisation, en particulier pour le Loto.

Définition

Les probabilités permettent d’estimer la chance (ou le risque) qu’un événement se produise ou pas. Une des principales applications des probabilités sont les jeux de hasard comme le Loto. On quantifie une probabilité par un nombre entre 0 et 1 qui correspond au pourcentage de chance (ou de risque) que l’événement considéré ai lieu.

Exemple avec le jet d’un dé

Voici la démarche pour trouver la probabilite d'un événement:

1)  Formuler l’événement qui va nous intéresser. Ex :

« Un dé non pipé affiche un chiffre pair »

2) Lister toutes les possibilités de résultats. On énumère alors tous les cas possibles dans un ensemble que l’on appelle ‘Oméga’. Dans notre exemple:

Ω = {1,2,3,4,5,6}

et on dit que le cardinal de Oméga est égal à 6 car il contient 6 éléments.

3) Dénombrer tous les cas favorables. Dans notre exemple, on vient lister tous les nombres pairs possibles dans un ensemble appelé A:

A = {2,4,6}

et on a donc le cardinal de A égal à 3.

4) Calculer la probabilité qui est égale au nombre de cas favorables, divisé par le nombre de cas possibles :

p = card(A)/card(Ω) = 3/6 = 0,5 = 50%

La probabilité d’obtenir un chiffre pair en tirant un dé donc de 50%.

Le dénombrement

Cet exemple peut paraître trivial mais il est important de comprendre cette mécanique pour calculer des probabilités plus complexes. La difficulté va ensuite venir du fait qu’il n’est pas toujours évident de dénombrer les possibilités d’un événement. Pour le jet d’un dé, on a 6 possibilités faciles à lister mais on voit bien que l’on ne va pas pouvoir lister toutes les possibilités de tirages du Loto car cela prendrait trop de temps.

Il existe une discipline des mathématiques qui s’appelle l’analyse combinatoire (l’étude des combinaisons) qui s’occupe justement de résoudre les problèmes de dénombrement. Voici les 4 principaux dénombrements à retenir :

1) Le nombre de possibilités d’ordonner ‘n’ éléments discernables est égal à: 1*2*3*4…*n = n ! (prononcer ‘factoriel n’).

Ex : Possibilité de ranger 4 tasses différentes : 4 !=1*2*3*4 = 24 façons :

2) Le nombre de possibilités d'ordonner 'n' éléments  avec 'n1' éléments identiques, 'n2' éléments identiques, etc.. est égal à :  

Ex : Le nombre de possibilité d'ordonner 4 tasses avec 2 tasses rouges et 2 tasses bleues : 4! / (2! * 2!) = 24/4=6 possibilités :

3) Le nombre de possibilités d'arranger 'k' éléments parmi 'n' en tenant compte de l'ordre :
Ex : Nombre de possibilités d'arranger 2 tasses parmi 4 tasses en tenant compte de l'ordre : 4 !/ (4-2) ! = 24/2 = 12 possibilités :

4) Le nombre de combinaisons de 'k' éléments parmi 'n' sans tenir compte de l'ordre:
Ex : Le nombre de combinaisons de 2 tasses parmi 4 sans tenir compte de l'ordre est : 4 !/(2 !* 2 !) =24/(2*2) = 6 combinaisons:

Le Loto
Au loto, on choisit 6 numéros parmi une grille de 49 numéros et on ne tient pas compte de l'ordre de sortie des numéros. Dans ce cas, le nombre de grilles possible est :

Si un joueur joue 1 seule grille, la probabilité d'avoir les 6 bons numéros est donc d'une chance sur 14 millions environ, soit  0,000007 % de chance d'empocher le Jackpot.
En jouant depuis vos 18 ans jusqu'à vos 98 ans, soit pendant 80 ans, à raison de 2 tirages par semaines, vous avez donc joué 8 348 tirages au total. L'évènement qui nous intéresse maintenant est :

« Avoir au moins une bonne grille de Loto sur 8348 tirages»

Pour retranscrire le "au moins une bonne grille", nous allons calculer la probabilité inverse, c'est à dire :

« Avoir 8348 mauvaises grilles de Loto sur 8348 tirages»

Premièrement, on cherche le nombre de « mauvaises » grilles, la réponse est simplement le nombre de grilles  possibles moins la bonne grille (la bonne combinaison),  c'est à dire 13983816-1. La probabilité de perdre à un tirage est donc de :

Si on effectue 8348 tirages, les probabilités se multiplient et on obtient ainsi comme probabilité de perdre pendant 90 ans :

Maintenant, nous revenons au probleme initial et on cherche la probabilité inverse, c'est à dire la probabilité de gagner au moins une fois sur 90 ans, on obtient alors:

Conclusion : En jouant toute votre vie, vous avez une chance sur 1 676 de gagner le gros lot donc mieux vaut bosser comme tout le monde et ne pas jouer au Loto. Cependant, les 8 348 tirages ont coûté « seulement » 5 000 euros et le retour sur investissement est donc bien meilleur par rapport à la bourse mais les chances de gagner sont nettement plus faibles !
L'Euro Millions
A l'Euro Million, le joueur choisit 5 numéros entre 1 et 50 et 2 numéros (appelés étoiles) entre 1 et 9 sans tenir compte de l'ordre. Le nombre de combinaisons possibles est donc de :
La probabilité d'obtenir les 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles est donc de 0,00000131%, soit environ 1 chance sur 76 millions : cinq fois moins qu'au Loto !