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Démonstration du Théorème de Bezout

Publié le 29 juin 2009 par Sententiae92160

Démonstration Originale du Théorème de Bézout ( Arithmétique : théorie des nombres : nombres premiers ):
Théorème :
Deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers u et v tels que a.u+b.v=1
Démonstration :
Prérequis :
- Toute partie non vide de N admet un plus petit élément
- le PGCD de deux nombres est 1 si et seulement si ces deux nombres sont premiers entre eux
Démonstration
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et premiers entre eux
- Soit E l'ensemble des entiers naturels non nuls de la forme a.u+b.v ou u et v sont des relatifs.
a ou (-a) est strictement positif donc E est non vide
E étant une partie non vide de N, il admet un plus petit élément d > 0
d étant un élément de E, il existe un couple ( u;v ) d'entiers relatifs tels que
d=a.u+b.v
On effectue la division euclidienne de a par d
a = q.d + r ou 0
r = a - d.q = a - (a.u + b.v).q = (1-u.q).a + (-v.q ).b
si r est non nul alors r appartient à E
ou r < d et d est le plus petit élément de E
Il y a contradiction
donc r = 0 et d est un diviseur de a
On montre de même que d est un diviseur de b
comme a et b sont premiers entre eux, le seul diviseur qui leur soit commun est 1 donc d=1
d= a.u + b.v = 1
Ce qu'il fallait démontrer.
Réciproquement
Si il existe un couple ( u;v ) d'entiers relatifs tels que
a.u + b.v = 1
Alors tout diviseur commun à a et b divise toute combinaison linéaire de a et de b donc divise 1
PGCD ( a; b ) divise 1 donc PGCD (a; b ) = 1
a et b premiers entre eux
Ce qu'il fallait démontrer

Traduction Latine :
Probatio theoremae Bezouti
Theorema :
Dui numeri integri non nulli a et b primi inter ipsius sunt si et solum si existent duos numeros integros u et v talis qualis a.u+b.v=1
Probatio
- Sint a et b duos numeros integros non nullos primosque inter ipsius
- Sint E conjunctum numeri integri non nulli talem qualem a.u+b.v ubi u et v integros numeros sunt.
Vel a vel (-a) positivus est ergo E non vaccua est
Quia E est non vaccua pars conjuncti N, habet parvissimum elementum d > 0
Quia d est elementum conjuncti E, exsitant bini ( u;v ) numeri integri tali quali
d=a.u+b.v
Facimus divisio euclidiensis a cum d
a = q.d + r ubi 0

r = a - d.q = a - (a.u + b.v).q = (1-u.q).a + (-v.q ).b
si r non nullius, r est elementum conjuncti E
ubi r < d et d parvissimum elementum E
Haec inter se repugnant
ergo r = 0 et d est divisor numeri a
Pariter probamus d divisor numeri b est.
quia a et b numeri primi inter ipsius sunt , divisor communis unicus est 1 d=1
d= a.u + b.v = 1
Quod erat demonstradum.
Rursus, autem,

Si exsitent bini ( u;v ) numeri integri tali quali
a.u + b.v = 1
Igitur totus communis divisor numeri a et b dividit totam compositionem numeri a et b ergo dividit numerum 1
PGCD ( a; b ) est divisor numeri 1 ergo PGCD (a; b ) = 1
a et b primi inter ipsius sunt.
Quod erat demonstrandum

Vocabulaire mathématique
Ensemble : Conjunctus
Nombre entier relatif : numerus integer
Couple : traduit par un adjectif : binus, a , um
Diviseur : divisor
Ergo, igitur : donc
Quia : parce que ( traduira le " étant donné " )
Talis qualis : tel que ...
nombres premiers entre eux : numeri primi inter ipsius

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