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Les polyèdres flexibles et la conjecture du soufflet

Par Olivier Leguay

Les polyèdres rigides, solides de l'espace à faces planes sont plutôt bien connus, les 5 plus célèbres d'entre eux étant les solides de Platon dont les faces sont exclusivement formées par des figures régulières du plan ( triangle équilatéral, carré et pentagone ).

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Visualiser les solides de Platon en animation : ICI
Le Tag des Inclassables sur les polyèdres : ICI ( attention il contient cette note ! )

Les polyèdres flexibles et la conjecture du soufflet
Par contre, les "enfants terribles" des polyèdres, les polyèdres flexibles le sont beaucoup moins.


L'objectif de cette note n'est absolument pas de développer les aspects techniques, ce que je suis bien incapable de faire.


On peut déjà se demander ce qu'est un polyèdre flexible.
C'est un polyèdre dont la seule donnée de ses faces ne suffit pas à définir sa forme, il peut donc adopter plusieurs formes possibles. Par opposition, le cube dont toutes les faces sont carrées est un solide indéformable.
Cauchy énonce le théorème de rigidité : Tout polyèdre convexe est rigide. On peut définir intuitivement la convexité comme étant le fait qu'un volume ne possède pas d'angles "rentrants".
Puis pendant 164 ans ....RIEN sur les polyèdres flexibles, sauf ceux de Bricard dont les faces s'interceptent....
On se restreindra maintenant aux polyèdres de l'espace usuel, et on éliminera de cette dénomination les polyèdres qui possèdent des auto-intersections de faces, ce qui empêche leur réalisation matérielle en carton. ( Pour information, les mathématiciens ne sont nullement gênés par le fait que les "parois" volume puisse se traverser entre elles !).


 

Les polyèdres flexibles et la conjecture du soufflet


La genèse des polyèdres flexibles :

En 1977, Connelly énonce le théorème suivant :
Il existe un polyèdre flexible!
Peu après, Steffen construit le polyèdre flexible le plus simple connu à ce jour et ayant 9 sommets.
On sait qu'un polyèdre ayant au plus 7 sommets est nécessairement.... RIGIDE !
Connely montre que le volume de son polyèdre reste constant durant le changement de forme.
Cette propriété qui semble se vérifier pour tout polyèdre, elle est appelée conjecture du soufflet et sera démontrée en 1997 par Connely et deux collaborateurs.
Un sujet qui reste ouvert...

Il reste encore de nombreux points en attente de démonstration, aussi bien en ce qui concerne les polyèdres flexibles que les polyèdres  d'une façon générale.
Par exemple, on ne sait toujours pas si deux polyèdres convexes ayant les mêmes angles dièdres ( entre les faces ) sont semblables ( donc si l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre ) ?
Cette conjecture, appelée conjecture de Stoker résiste aux géomètres depuis plus de 40 ans, la question étant de savoir si deux volume ayant les mêmes angles entre leurs faces implique qu'ils aient les mêmes angles intérieurs sur les faces.
Pour visualiser les animations de polyèdres flexibles :
L'octaèdre flexible de Bricard ( dont les faces s'interceptent ) : ICI
L'octaèdre sauteur de Wunderlich : ICI
Le polyèdre flexible de Steffen : ICI

La page de Jean-Paul Davalan : ICI

Note très inspirée de " Les polyèdres et la conjecture du soufflet " de Thierry Lambre Bulletin de L'APMEP - Juillet-Août 2007


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