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Mathastrophique

Publié le 02 mars 2010 par Allo C'Est Fini

Le plus ennuyeux, dans la mort, c’est de se dire qu’on part  sans avoir résolu de grandes questions: dieu existe-t-il, la vitesse de la lumière peut-elle être dépassée, le PSG peut-il gagner le championnat de France, etc.. Dans mon cas personnel, il s’agit de certains problèmes de maths. Vous allez me prendre pour un fou, mais c’est la stricte vérité. Me dire que je quitterai ce monde sans avoir résolu certains exercices m’obsède. Et parmi tous ces problèmes non résolus, il en est un qui me taquine depuis près de 15 ans.

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Heureusement, on parle, de nos jours, de crowdsourcing, de l’intelligence collective. En bref, on peut faire appel à l’intelligence de ses amis pour résoudre des problèmes qu’on n’arrive pas à résoudre soi-même. Alors je vous soumets cet exercice à la fois passionnant et maléfique.

Il s’agit d’un jeu, qui se joue avec des boules. Plus exactement 2xN boules, où N est un entier fixé. Ces boules sont numérotées: il y en a 2 qui portent le chiffre 1, 2 autres qui portent le chiffre 2, 2 autres qui portent le chiffre 3, et ainsi de suite jusqu’à N. En tout, 2xN.

Ensuite, on va disposer ces boules en file indienne, mais pas n’importe comment. On va faire en sorte qu’entre les 2 boules qui portent le chiffre k soient posées exactement k autres boules. Vous arrivez à visualiser le truc? Non? Bon, alors voici ce que cela donne pour N = 3 ou N = 4.

3 1 2 1 3 2

4 1 3 1 2 4 3 2

Simple, non? Alors voici l’énoncé en question:

Trouver toutes les valeurs de N pour lesquelles un tel arrangement est possible.

Et oui, cela ne fonctionne pas pour tout N. Prenez N = 5, par exemple, ou N = 6. Vous pourrez passer votre journée à les disposer dans tous les sens, c’est impossible. Idem pour N = 25 ou N = 26 (mais c’est nettement plus long à tester…)

En fait, et c’est là où c’est obsédant, j’ai déjà réussi à montrer que si un tel arrangement existe, alors forcément N s’écrit sous la forme 4k ou 4k+3. C’est la réciproque que je peine à résoudre depuis 15 ans.

Vous me donnez un coup de main?

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