L'Inde dans les mathématiques (1/2)

Il y a une relation particulière entre l’Inde et les sciences et ce n’est pas un hasard si le monde scientifique compte beaucoup d’indiens. Et tout cela commence bien sûr avec la place de l’Inde dans les mathématiques.

D’après la tradition orthodoxe Hindoue, l’oeuvre astronomique la plus importante, Surya Siddhanta, aurait été composée il y a plus de deux millions d’années. En fait il n’y a pas de traces de mathématiques en Inde antérieures à 1500 avant J-C.

La civilisation de la vallée de l’Indus (vers 3000 avant J-C.) n’a été découverte que vers 1920, et l’écriture n’est pas encore déchiffrée. Il y a des poids, des objets qui semblent destinés à mesurer, donc peut-être une numération, mais on ne sait rien de plus.

Il y eut donc tout d’abord les mathématiques védiques dont l’une des motivations était l’établissement de calendriers et cela a conduit à étudier l’astronomie. On ne peut pas passer sous silence l’importance de l’astrologie et des « révélations cosmiques ». Les tables des dates, latitudes et longitudes, du mouvement du soleil, de la lune et de la terre, sont à la base de calculs permettant de fabriquer des horoscopes et de prédire la longévité des individus, ainsi que de choisir des dates propices pour des événements importants (mariage par exemple).

De 500 à 200 avant J-C., les mathématiques Védiques continuent à se développer, avant de décliner pour laisser la place aux mathématiques des jaïns: théorie des nombres, permutations et combinaisons, théorème du binôme, et toujours l’astronomie.

On trouve un système de numérotation décimale en Inde au 3ème siècle avant J-C., au temps du roi Ashoka. Celui-ci avait fait édifier des piliers en pierre (certains existent encore), sur lesquels sont gravées des inscriptions en Brahmi (écriture brahmique), qui sont les ancêtres les plus lointains de notre système numérique actuel. L’introduction de ce système d’écriture sera un outil indispensable dans la suite du développement des mathématiques en Inde. Il permettra notamment d’écrire de grands nombres qui fascineront les mathématiciens jaïns.

C’est probablement entre le deuxième et le quatrième siècle de notre ère que doit être daté le manuscrit « Bakhshali », avec l’introduction des opérations mathématiques, notation décimale, introduction du zéro, algèbre, équations quadratiques, racines carrées, utilisation d’inconnues et du signe moins.

De 600 à 1200, c’est la période classique des mathématiques en Inde. Les mathématiciens de cette époque sont Aryabhata I (né en 476, photo ci-contre, son nom a été donné au premier satellite indien lancé en 1975 par une fusée soviétique), Varahamihira (né en 587), Bhaskara I (né vers 574), Brahmagupta (598–665), Mahavıracarya (vers 850), Aryabhata II (950–1100), Sridhara (né en 991), Bhaskara II (né en 1114). Selon la méthode hindoue, tout, y compris les mathématiques, est exprimé de façon poétique. Les nombres étaient souvent remplacés par des mots de la mythologie indienne.

Le premier traitement systématique de l’équation du premier degré ax + c = by est réalisé par l’astronome indien Aryabhata vers 510. Aryabhata sait extraire les racines carrées et l’utilise dans ses études sur les progressions arithmétiques; il donne aussi des règles pour calculer des valeurs du sinus.

Varahamihira, astronome de l’école d’Ujjain (au centre de l’Inde) écrit au VI° siècle un résumé de la trigonométrie hindoue. Ses tables du sinus pourraient provenir de Ptolémée (astronome grec né vers 90). Bien avant Copernic, il savait que la terre tournait autour du soleil. Son traité d’astronomie comporte une description scientifique des éclipses, même s’il est contraint de justifier les mythes de l’orthodoxie des Brahmines.

Cette école mathématique indienne entre le 6° et le 12° siècle trouvera aussi la méthode cyclique pour l’équation x2 − Ny2 = ±1. Brahmagupta savait qu’il y avait une infinité de solutions: la structure multiplicative de l’ensemble des solutions lui était familière, et à partir d’une solution il savait en construire une infinité.

Brahmagupta connaissait aussi la paramétrisation de l’équation de Pythagore. Un autre problème étudié par Brahmagupta consiste à trouver x et y tels que ax + 1 et bx + 1 soient tous deux des carrés. Il donne la solution.

Bijaganita (1120) étudie la résolution d’équations, l’évaluation de racines, les équations linéaires, les équations du second degré, troisième et quatrième degré. Tout cela par une méthode redécouverte en Occident par William Brouncker en1657.

Comme dans d’autres civilisations mathématiques anciennes, la détermination du nombre pi a joué un grand rôle. Vers 500 avant J-C. les mathématiciens indiens en donnent une valeur de 3.162. Il faudra attendre Aryabhata (476) qui indiquera 3.1416 en précisant qu’il s’agit d’une approximation et que selon lui pi est un nombre irrationnel et non constructible, problème qui sera finalement résolu par Lindemann en 1882.

Toujours sur la valeur de pi, Madhava (1380–1420) utilise une série et obtient 11 décimales exactes, alors que Viète (mathématicien français) en 1579 n’en aura que 9 en calculant le périmètre d’un polygone de 393 216 côtés.

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