La page du vendredi 26 mars 2010

Idiomathique du jour

Peut-on encore croire aux vérités mathématiques lorsqu'on sait que les mathématiciens utilisent souvent des nombres irrationnels ?

Paul Erdös, le mathématicien errant 

Le mathématicien hongrois Paul Erdös est né le 26 mars 1913.
La vie d'Erdös fut vraiment étrange. Il n'avait pas de maison, pas d'épouse, les contingences matérielles étaient pénibles pour lui. Il voyageait en solitaire, accompagné de deux valises qui portaient toutes ses affaires, allant d'université en université, habitant à l'hôtel ou chez un ami mathématicien...
Chercheur très prolifique, il a publié, toutes disciplines confondues, plus de 1 500 articles de recherche. Ses domaines de prédilection étaient la théorie des graphes, la théorie des nombres et la combinatoire.
Sa vie est racontée dans le livre de Paul Hoffman : "Erdös, l'homme qui n'aimait que les nombres". Dans cette biographie, l'auteur présente aussi, de façon simple et compréhensible par tous, les problèmes mathématiques abordés par Erdös. (sur amazon ...)
Voici deux problèmes posés par Erdõs trouvés sur le site des Récréations mathématiques de Diophante.
Problème 1 :
Quelle est la dimension maximale d'un sous-ensemble de nombres entiers (a_1,...,a_k) choisis parmi les entiers 1,2,...,n tels que a_i + a_j ne soit jamais un carré parfait (i et j quelconques y compris i=j). Par exemple si n=7 alors (1,4,6,7) est l'un des sous-ensembles recherchés.
Quelle est le sous-ensemble des 100 premiers nombres entiers qui a cette propriété avec le plus grand nombre possible d'éléments ?
Problème 2
Paul Erdös avait le goût des problèmes s'exprimant en quelques mots. Quoi de plus simple que cet énoncé : « n points distincts dans le plan. A partir de quelle valeur de n est-on certain de pouvoir former un triangle non isocèle avec trois d'entre eux ? »
La réponse est n = 7 mais la démonstration difficile sort du domaine de nos récréations mathématiques.
Essayer de construire dans le plan six points dont trois quelconques sont toujours les sommets d'un triangle isocèle.
Erdös est par ailleurs l'auteur de nombreux "erdosismes", comme cette phrase célèbre :
"Un mathématicien est une machine à transformer le café en théorème."
Une de ses maximes favorites était :
"Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution."
Autre citation de Paul Erdös :

Pourquoi les nombres sont-ils beaux ? 
Cela revient à se demander pourquoi la neuvième symphonie de 
Beethoven est belle. Si vous ne voyez pas pourquoi, personne ne 
pourra vous l'expliquer. 
Je sais que les nombres sont beaux. 
S'ils ne sont pas beaux, rien ne l'est.