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Comment trouver géométriquement le centre d'une similitude directe ?

Publié le 29 mars 2010 par Lallemand
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O;\vec{u},\vec{v}\right)$, on considère les points A, B, A' et B' d'affixes respectives $1+2i$, $-2+i$, $-1-i$, $1+i$.
On sait qu'il existe une unique similitude directe qui transforme A en A' et B en B'. Dans le cas présent, cette similitude a un centre (ce n'est pas une translation car les vecteurs $\overrightarrow{AA\prime}$ et $\overrightarrow{BB\prime}$ ne sont pas égaux).
Cet article a un double objectif :
  • Décrire une construction géométrique du centre de cette similitude et prouver sa validité.
  • Créer dans GeoGebra un nouvel outil qui permettra de trouver le centre d'une similitude directe définie par la donnée de deux points et de leurs images.
Première partie
Description de la construction : 
  • Construire un carré ABCD de sens direct à partir du segment [AB] et un autre carré direct A'B'C'D' à partir de [A'B'].
  • Construire :
    1. le point P, intersection des droites (AB) et (A'B') ;
    2. le point Q, intersection des droites (BC) et (B'C') ;
    3. le point R, intersection des droites (CD) et (C'D') ;
    4. le point S, intersection des droites (DA) et (D'A') ;
  •  Placer le point I, d'intersection des droites (PR) et (QS) : c'est le centre recherché.
Démonstration :
  1. Montrer que $f$ n'est ni une translation, ni une homothétie, ni une rotation.
  2. Sur la figure GeoGebra ci-dessous, on a représenté les points A, B, A' et B'. Construire un carré ABCD de sens direct à partir du segment [AB] et un autre carré direct A'B'C'D' à partir de [A'B']. (On peut double cliquer dans la figure pour ouvrir GeoGebra dans une fenêtre autonome)
  3. Construire :
    1. le point P, intersection des droites (AB) et (A'B') ;
    2. le point Q, intersection des droites (BC) et (B'C') ;
    3. le point R, intersection des droites (CD) et (C'D') ;
    4. le point S, intersection des droites (DA) et (D'A') ;
  4. Soit $P\prime=f(P)$ et $R\prime=f(R)$. On ne cherchera pas à construire P' et R'.
    1. Justifier que $P\prime\in(A\prime B\prime)$ et que $R\prime\in(C\prime D\prime)$. 
    2. Soit I le point d'intersection des droites (PR) et (P'R'). Justifier que les droites (PP') et (RR') sont parallèles. (faire un schéma à main levée)
    3. En déduire l'existence d'un réel non nul $\lambda$ tel que $\overrightarrow{IR}=\lambda\overrightarrow{IP}$ et $\overrightarrow{IR\prime}=\lambda\overrightarrow{IP\prime}$.
    4. Soit $I\prime=f(I)$. Prouver que l'on a aussi $\overrightarrow{I\prime R\prime}=\lambda\overrightarrow{I\prime P\prime}$. 
    5. En déduire que $\overrightarrow{II\prime}=\overrightarrow{0}$.
    Le point I est donc invariant par $f$ : c'est son centre. On a prouvé qu'il appartient à la droite (PR). Par un raisonnement identique, on prouverait que I appartient à la droite (QS) : I est donc le point d'intersection des droites (PR) et (QS).
Deuxième partie
Création d'un nouvel outil dans GeoGebra 
  1. Dans GeoGebra, créer le point I, puis créer un outil permettant de créer le centre d'une similitude définie par deux points et leurs images. Pour cela, menu "Outils", "Créer un nouvel outil". Choisir I comme objet final et A, A', B, B' dans cet ordre comme objets initiaux et valider.
  2. Dans le menu "Fichier", choisir "Nouveau" et tester le nouvel outil en créant quatre points A, A', B et B' puis le centre I de la similitude directe qui transforme A en A' et B en B'. On pourra prendre le cas particulier d'une homothétie ou d'une rotation de centre connu pour vérifier que le nouvel outil fonctionne.

Complément
Soit $z\prime=az+b$ la forme complexe de $f$.
  1. Calculer $a$ et $b$ sous forme algébrique.
  2. En déduire le rapport $k$ de $f$ et une valeur approchée de son angle en degrés.
  3.  Déterminer l'affixe $\omega$ de son centre (vérifier la cohérence avec le résultat de la première partie).
  4. Donner la forme réduite de $f$.

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