Complètement cycloïdique !

On connaît la forme de la cycloïde (figure) qui correspond à la courbe décrite par un point fixe sur un cercle qui roule sans glisser sur un plan. Pascal et Mersenne s’étonnaient que les Anciens n’aient pas découvert cette courbe : de fait, c’est au XVII° siècle qu’elle va être " découverte " et caractérisée. Nous l’étudierons prochainement du point de vue de la physique, car c’est une courbe qui possède des propriétés naturelles intéressantes. En attendant, pour vous mettre en haleine, une petite devinette physico-mathématique  : soit une boule de billard frappée à une vitesse V (donc lancée dans un mouvement de rotation sans glissement sur le tapis), peut-on exprimer en fonction de la vitesse V la longueur entre deux points de rebroussement de la cycloïde, c’est à dire la longueur AB ?