Structures algébriques

Loi de composition interne : toute application f, telle que f : E x E ® E, est appelée "loi de
composition interne" dans E. Par exemple la loi + dans N, + : N x N ® N, la notation fonctionnelle s'écrit + (a,b) ® y = +(a,b) on la dénomme notation préfixée pour une loi. Dans
certains cas on préfère une autre notation dite notation infixée pour représenter l'image du couple (a,b) par une loi. Par exemple, la notation infixée de la loi + est la suivante : + (a,b) ® y = a +
b. D'une manière générale, pour une loi ¤ sur une ensemble E nous noterons a ¤ b l'image ¤(a,b)
du couple (a,b) par la loi ¤.

Associativité : La loi ¤ est dite associative par définition si :
"x ( xÎ E ), "y ( yÎ E ), "z ( zÎ E ) on a : ( x ¤ y ) ¤ z = x ¤ ( y ¤ z )

Commutativité : La loi ¤ est dite commutative par définition si :
"x ( xÎ E ), "y ( yÎ E ), on a : x ¤ y = y ¤ x

Elément neutre : La loi ¤ est dite posséder un élément neutre noté e si :
"x ( xÎ E ), on a : x ¤ e = e ¤ x = x

Distributivité : La loi ¤ est dite distributive par rapport à la loi * si :
"x ( xÎ E ), "y ( yÎ E ), "z ( zÎ E ) on a : x * ( y ¤ z ) = ( x * y ) ¤ ( x * z )

Symétrique : On dit qu'un élément x d'un ensemble E est symétrisable (ou qu'il possède un
symétrique unique) pour la loi ¤ sur E (nous notons x' le symétrique de x) lorsque cette loi possède
un élément neutre e et que : "x ( xÎ E ), $! x' ( x' Î E ) / x' ¤ x = x ¤ x' = e. Par exemple dans
l'addition dans Z l'entier -x est le symétrique de l'entier x, car nous avons x + (-x) = (-x) + x =0
(l'entier 0 est l'élément neutre de la loi +)

Absorbant : On dit qu'un élément a d'un ensemble E est absorbant pour la loi ¤ lorsque : "x ( xÎ E
), x ¤ a = a ¤ x = a. Par exemple dans Z l'entier 0 est absorbant pour la multiplication.

Idempotent : Un élément a d'une loi ¤ est dit idempotent lorsque a ¤ a = a. Par exemple dans la loi
È sur P(E) (union de deux sous-ensembles de l'ensemble E non vide), tous les éléments de P(E)
sont idempotents, en effet : "A ( AÎ P(E) ), A È A = A