Pyramide numérique magique en base 10

Récemment, @bouletcorp (je vous recommande en passsant la lecture de son blog : bouletcorp.com), s'est extasié, à juste titre, à la vue de cette image :

C'est beau non ? Alors, c'est quoi le truc ? Explications...

Dissection d'un étage de la pyramide

Commençons par torturer une des équations de la pyramide pour comprendre un peu ce qu'il se passe (accroche-toi Mémé). Considérons le premier membre de la troisième :

$123\times 8+3$

Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons:

$123\times 8 +3 = 123\times 10-123\times 2+3$

Etape 2. On décompose le terme 2 * 123 en la somme 123+123 :

$123\times 8 +3 = 123\times 10-123+3-123$

Etape 3. On décompose ensuite le premier 123 en 123=10*12+3

$123\times 8 +3=123\times 10-12\times 10-3+3-123$

Etape 4. En mettant 10 en facteur sur 1230 et 120, on obtient

$123\times 8 +3=(123-12)\times 10-3+3-123$

Etape 5. En remarquant que 123-12=111, on trouve :

$123\times 8 +3=111\times 10-123$

Etape 6. Or, 111*10-123=1110-123=987. D'où finalement

$123\times 8 +3=987$

Et ça marche tout pareil avec les autres équations de la pyramide. Un autre exemple pour n=5 :

$12345\times 8+5=12345\times 10-12345\times 2+5$

$12345\times 8+5=12345\times 10-12345+5-12345$

$12345\times 8+5=12345\times 10-1234\times 10-5+5-12345$

$12345\times 8+5=(12345-1234)\times 10-12345$

$12345\times 8+5=1111\times 10 - 1234$

$12345\times 8+5=98765$

Lors de chaque étape de calcul, on utilise une propriété élémentaire sur les nombres. Celles utilisées dans les étapes 1, 2 et 4 sont élémentaires. En revanche, les deux dernières le sont moins. L'objectif de ce qui suit est de d'établir une relation générale pour des nombres 12...n et 98...m quelconques, avec n et m compris entre 1 et 9.

Si vous avez décroché à ce moment là de la lecture et que vous souhaitez poursuivre, allez prendre un stimulant, ce qui suit se corse un peu. Prenez de l'eau aussi, ça va devenir aride. Normal, on étudie des pyramides, dans le désert.

Quelques éléments de numération en base 10

Avant de rentrer dans le vif des explications, il faut que je vous parle de numération. La numération c'est quoi ? C'est très simple. "Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur forme écrite, ces derniers sont nés, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation (source Wikipédia)."

En gros, ça sert à représenter et manipuler les nombres. Des systèmes de numération, il en existe plusieurs, le plus largement répandu sur Terre (ailleurs, je peux pas dire) est le système décimal. Pourquoi le système décimal ? Parce qu'il présente beaucoup d'avantages, entre autres :

Décimal = 10 = nombre de doigts d'un humain normalement constitué.
Les nombres s'écrivent et se manipulent bien dans cette base.
Les opérations sur les nombres (addition/soustraction, multiplication/division) sont relativement simple à effectuer. J'en veux pour preuve qu'on les apprend à l'école primaire.

C'est ainsi que derrière des nombres qu'on a l'habitude de manipuler tous les jours se cache un système de numération mathématique en base 10. Concrètement, ça signifie que chaque nombre est décomposé sur un ensemble de nombre, qu'on appelle une base. Dans le cas du système décimal, la base est constituée des puissances de 10 (1, 10, 100, 1000, 10000, ...) : les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, etc.

Représenter un nombre en base décimale, c'est donc le décomposer en nombre d'unités, de dizaines, de centaintes, de milliers, etc.

Un exemple pour fixer les idées. Considérons le nombre 1234. Derrière sa représentation se cache la décomposition suivante :

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4 *1

1234 = 1 * 10³ + 2 * 10² + 3 * 10¹ + 4 * 10⁰.

Le premier chiffre de 1234, le 1, est le facteur de la puissance 3 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des milliers.
Le second chiffre de 1234, le 2, est le facteur de la puissance 2 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des centaines.
Le troisième chiffre de 1234, le 3, est le facteur de la puissance 1 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des dizaines.
Le quatrième chiffre de 1234, le 4, est le facteur de la puissance 0 de 10 dans la décomposition en base 10 : le chiffre des unités.

D'une manière générale, tout nombre à n chiffres s'écrit en base 10 sous la forme :

$a_{n-1}\times 10^{n-1}+a_{n-2}\times 10^{n-2}+...+a_1\times 10+a_0=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_k\times 10^{n-k}$

Le nombre en question sera constitué des coefficient

$a_{k}$

, pour

variant de 0 à n-1 et sera noté formellement

$\overline{a_{n-1}...a_0}$

Exemple, pour

, les coefficients du nombre 1234 en base 10 sont :

$a_3=1,\;a_2=2,\;a_1=3,\;a_0=4.$

Application à la pyramide magique en question

Revenons à notre pyramide de chiffre.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 9876
123456 x 8 + 6 = 98765
1234567 x 8 + 7 = 987654
12345678 x 8 + 8 = 9876543
123456789 x 8 + 9 = 987654321

En utilisant la numération en base 10, on va généraliser la démarche effectuée dans les deux cas particuliers ci-dessus pour des chiffres 12...n et 98...m quelconques, avec n et m compris entre 1 et 9.

Pour formaliser tout ça, quelques notations s'imposent (c'est à ce moment que Mamie décroche...).

Le nombre constitué des n chiffres dans l'ordre croissant de 1 à n sera noté
$c_n=\overline{12...n}$
le nombre constitué des m chiffres décroissants de 9 à m sera noté
$d_m=\overline{98...m}$
le nombre de n chiffres constitué de n un consécutif sera noté
$e_n=\overline{1...1}$
.

Leurs décompositions dans le système décimal est donné par les relations suivantes : (1)

$c_n=\overline{12...n}=1\times 10^{n-1}+2\times 10^{n-2}+...+n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}$

(2)

$d_m=\overline{98...m}=9\times 10^{n-1}+8\times 10^{n-2}+...+m\times 10^{10-m-k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{10-m} (10-k)10^{10-m-k}$

(3)

$e_n=\overline{1...10}=10^n-1+10^{n-2}+..+1=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 10^{n-k}$

Quelques exemples :

= 1 millier + 2 centaines + 3 dizaines + 4 unités =
$1\times 1000+2\times 100+3\times 10+4\times 1 = 1234$
= 9 milliers + 8 centaines + 7 dizaines + 6 unités =
$9\times 1000 + 8\times 100 + 7\times 10 + 6\times 1 = 9876$
= 1 milliers + 1 centaine + 1 dizaine + 1 unité =
$1\times 1000+1\times 100+1\times 10+1\times 1 = 1111$

Avec ces notations, la n-ième ligne de la pyramide s'écrit :

$c_n\times 8 + n=d_{10-n} \quad (E_n)$

Par exemple, pour n=4, on a bien

$c_4 \times 8 +4=d_6 \iff 1234\times 8+4=9876$

=== petite pause rafraîchissement ===

Le saviez-vous ? L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus. C'est le milieu de vie de la plupart des êtres vivants. Elle se trouve en général dans son état liquide et possède à température ambiante des propriétés uniques : c’est notamment un solvant efficace pour beaucoup de corps solides trouvés sur Terre — l’eau est quelquefois désignée sous le nom de « solvant universel ».

Astuce : boire de l'eau régulièrement dans le désert permet de ne pas mourir.

=== reprise du programme ===

L'objectif de ce qui suit est de démontrer que l'équation

est vraie pour n compris entre 1 et 9.

Pour cela, établissons quelques propriétés.

Propriété 1.

$c_n=10\times c_{n-1}+n.$

Preuve : en utilisant la relation (1), on a :

$c_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}$

$c_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-k}+n$

$c_n=10\times\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-1-k}+n$

$c_n=10\times c_{n-1}+n.$

ELTEJ¹.

Exemple, pour n = 4 :

, et on a bien 1234=10*123+4.

Propriété 2.

$c_n-c_{n-1}=e_n$

Preuve : en partant de la relaton (1), en

et en
, on a :

$c_n-c_{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k10^{n-1-k}$

Dans la première somme on extrait le premier terme pour

et dans la seconde somme on fait le changement de variable
$k\rightarrow k+1$
. On obtient

$c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n} k10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (k-1)10^{n-k}$

On regroupe les deux sommes sous la même sommation :

$c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (k-k+1)10^{n-k}$

$c_n-c_{n-1}=10^{n-1}+\displaystyle \sum_{k=2}^{n}10^{n-k}$

$c_n-c_{n-1}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}10^{n-k}$

Et donc, d'après la relation (2), on a bien :

$c_n-c_{n-1}=e_n$

. ELTEJ.

Exemple, pour n = 4 :

, et on a bien 1234-123=111.

Propriété 3.

$10e_n-c_n=d_{10-n}$

Preuve : d'après la relation (3), on a :

$d_{10-n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (10-k)10^{n-k}$

$d_{10-n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 10\times 10^{n-k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\times 10^{n-k}$

$d_{10-n}=10\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 10\times 10^{n-k}-c_n$

On effectue le changement d'indice de sommation

$k\rightarrow n-k$

. On obtient :

$d_{10-n}=10\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 10\times 10^{k}-c_n$

Et d'après la relation (3) :

$d_{10-n}=10e_n-c_n.$

ELTEJ.

Exemple, pour n = 4 :

$d_{10-4}=d_6=9876$

, et on a bien 10*1111-1234=11110-1234=9876.

On a tout ce qu'il faut maintenant pour généraliser ce qu'on a fait au début de l'article. Dans un souci pédagogique, je presente côte à côte la démarche dans le cas particulier n=3, et la même démarche dans le cas général, en suivant les mêmes étapes :

Cas général Cas n = 3

Etape 1. Ecrivons que 8=10-2 et développons :

$c_n\times 8 +n = 10c_n - 2c_n + n$