La mise en place de processus d’ORSA (problématique infra ou pluri-annuelle) conduit les assureurs à développer des proxies permettant d’appréhender la dynamique temporelle des fonds propres économiques.
On admet couramment l’existence d’un processus Yt décrivant les risques impactant l’évolution du bilan de la compagnie et on suppose de plus que ce processus est markovien (dépend des modèles retenus). En pratique l’état du bilan dépend de Y et d’un nombre fini de variables d’états, que l’on notera D, également markovien (D décrivant l’état des polices).
Aussi, la problématique associée à la mise en place d’un processus d’ORSA consiste à valoriser ces espérances conditionnelles pour divers maturité et divers niveaux de quantiles. Deux approches semblent envisageables :
- Le recours aux simulations dans les simulations (mais cette approche est rarement envisageable);
- La mise en place de proxies visant à capter, puis reproduire, la sensibilité des fonds propres économiques aux principaux facteurs de risques.
Au niveau des approches par proxies, deux méthodologies sont couramment retenues, à savoir les approches par portefeuilles répliquants et les approches Least Square Monte Carlo. Une analyse des convergences et divergences théoriques de ces deux approches est présentées ci-après.
Hypothèses initiales :
Soit (Ί,I,P) un espace probabilisé de taille infinie. On s’intéresse ici à des instruments financiers dont les flux de trésorerie sont des variables aléatoires qui suivent les hypothèses suivantes.
- On ne considère par la suite que des variables de variance finie.
- On considère que les résultats obtenus par une approche de type Monte Carlo constitue la réalité. Il est à noter qu’un nombre suffisant de simulation rend cette hypothèse acceptable.
- On considère que l’ensemble des risques sont couvrables.
Impact de l’hypothèse numéro 1
En tant que variable aléatoire de carré intégrable, elles appartiennent à l’espace L²(Ί,I,P) qui muni de la covariance comme produit scalaire est un espace de Hilbert. Ainsi tout élément Pt de Ί peut s’exprimer de la sorte :
avec :
Il s’agit du cadre initial associé à la méthode LSMC
Impact de l’hypothèse numéro 2
Cette 2ème hypothèse revient à considérer que la probabilité risque neutre retenue sous Monte Carlo est la seule mesure risque neutre du marché et que les calculs sont donc effectués dans un marché complet. Aussi tout instrument financier peut être valorisé sur la base des prix d’actif d’Arrow-Debreu :
où
Les actifs d’Arrow-Debreu étant indépendants au sens de la corrélation linéaire, ils constituent également une base orthonormée de l’espace de Hilbert Ί . Les équations (1) et (2) sont donc équivalentes, mais Îąi et Ď€i n’ont pas de raison d’être identiques. La notion de complétude implique également qu’il est possible de répliquer l’instrument financier P par une portefeuille autofinancé (X0,‌,XM ). Le passage d’une somme infinie à une somme finie implique cependant de retenir des processus adaptés comme pondération :
Il s’agit du cadre initial associé à la notion de portefeuille de réplication.
Conclusion
Les méthodologies des portefeuilles de réplication et des Least Square Monte Carlo présentent donc un cadre mathématique commun et conduisent donc aux mêmes résultats tant que les hypothèses initiales sont vérifiées. Le respect de ces équations assure également la stabilité temporelle des deux décompositions.
Instabilité temporelle lors du passage au cadre assurantiel
Dans le cadre assurantiel, l’instabilité temporelle des approches RP et LSMC vient des simplifications apportées au cadre théorique.
1 – Méthodologie des portefeuilles de réplication
Deux simplifications sont à noter :
1. Taille de la somme : compte tenu du niveau de complexité élevé des contrats d’assurances (plusieurs risques financiers) le terme M ne peut être défini précisément.
2. Pondération : par soucis de simplicité, le marché remplace couramment les processus adaptés par des constantes.
2 – Méthodologie des Least Square Monte Carlo
Deux simplifications sont à noter :
1. Taille de la somme : on se limite aux M premiers termes.
2. Construction de la base : la base retenue est rarement orthogonale.
Limite du pouvoir de réplication lors du passage au cadre assurantiel
Dans le cadre assurantiel les approches RP et LSMC ne peuvent reproduire parfaitement la volatilité associée aux passifs
1- Méthodologie des Portefeuilles de Réplication
La présence de risques non couvrables (type risques biométriques, actions du management, risque non vie) invalide l’utilisation de portefeuille de réplication pour certains types de passifs.
2 – Méthodologie des Portefeuilles de Réplication et des Least Square Monte Carlo
Les règles comptables (consommation de la PPE, Réserve de Capitalisation, PDD, PRE, ‌) induise un phénomène de volatilité qui ne peut être couvert ou répliquer sur la base d’aléa.
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