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Le Pouvoir de l 'Imaginaire (372): La révolte de GROTHENDIECK (suite)

Publié le 07 janvier 2015 par 000111aaa

J’aborde la partie la plus difficile  et la rédaction de ce dialogue  avec CANDIDE va s’en ressentir  …N’hésitez pas à vous jeter à l’eau et à me poser des questions…….j’adore ça !

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-« Je recopie PIERRE ta dernière question : « -«  Holà  PAPY ! Puisque tu ne veux pas faire de l’art pour l’art  et RESTER EFFICACE    en maths ,  dis-moi si l’ outil forgé  sera  capable de rendre compte des règles de l’univers…… »

Je n’y réponds pas ! Il est bien trop prématuré pour moi de le  tenter  tout de suite et je te propose plutôt  de commencer à examiner  la façon de « marier » au mieux  géométrie et algèbre….. Commençons par admettre que pour la définition du point «  géométrique » , au fond  la tienne était le résultat d’une perception   quasi immédiate   traduite  en mots simplissimes !

-«  Et pourquoi pas  PAPY ? Que me reproches-tu  là? Le point  c’est la petite tache qui termine cette ligne. ( !!) Et je la fais aussi petite  et si  tu veux ,  je peux imaginer  la faire disparaitre à ton œil !!!!

-«   Ne te rends –tu pas donc compte de l’intuition subtile  qui a du guider EUCLIDE ? « LE POINT= Ce qui ne peut être  divisé »…..  Nous sommes en géométrie PIERRE  et un point n'a ni largeur, ni longueur, ni hauteur. Sa dimension est donc zéro. Il forme un tout  indivisible….Mais comment ? C'est   un élément premier, un constituant primitif…Mais de quoi ?

Je suppose  que Euclide extrapolait   sa perception  vers  l’infiniment petit puis vers la notion de rien ou de  zéro !……   Et lorsque tes images me proposent plusieurs types de points, par exemple celle-ci où deux droites sécantes ne se coupent qu'en UN SEUL  point ... Qu’est ce qui te permet de le savoir ??????  Et d’ailleurs   , comme toi ,  c ’est ensuite qu’ Euclide est contraint de mieux «  s’expliquer » !…Enfin :façon de parler !!!… Par son  célèbre  premier postulat ! « .Deux droites sécantes ne se coupent qu'en un seul point »... Ca ! c'est une proposition dont il est demandé qu'elle soit acceptée sans démonstration !Mes américains  de  PRINCETON  me diraient : » you ‘ve to lump it or to  leave it  ! »= ( c’est à prendre ou à laisser )….Moi j’appelle ça  , les postulats d’EUCLIDE , des «  constats contestables » !Et pour  GROTHENDIECK  et avant lui les promoteurs des géométries non euclidiennes ,LOBATCHEWSKI  et RIEMANN   ne jugeaient pas ces postulats   comme  des choses aussi définitivement évidentes !

-« Mais  PAPY cela se rapproche  alors peu ou prou  de la définition  MODERNE  d'axiome ?

-«  ET oui  PIERRE ! Et c’est en partant de ces « constats  contestables » ( !) que   la réflexion de   GROTHEDIECK   s’allume ….Et  je ne peux faire mieux que de la citer  ( copier- coller) « On peut dire que « le nombre » est apte à saisir la structure des agrégats « discontinus », ou « discrets » : les systèmes, souvent finis, formés d’ « éléments » ou « objets » pour ainsi dire isolés les uns par rapport aux autres, sans quelque principe de « passage continu » de l’un à l’autre.

« La grandeur » par contre est la qualité par excellence, susceptible de « variation continue » ; par là, elle est apte à saisir les structures et phénomènes continus : les mouvements, espaces, « variétés » en tous genres, champs de force etc. Ainsi, l’arithmétique apparaît (grosso-modo) comme la science des structures discrètes, et l’analyse, comme la science des structures continues »

-«  Ma foi  PAPY  ça me semble   très  intéressant mais comment  relier ça  à mes définitions de  points et à tes «  constats contestables » ???

-«  GROTHENDIECK continue en traitant alors de la géométrie ( copier-coller) : « Quant à la géométrie, on peut dire que depuis plus de deux mille ans qu’elle existe sous forme d’une science au sens moderne du mot, elle est « à cheval » sur ces deux types de structures, les « discrètes » et les « continues ». Pendant longtemps d’ailleurs, il n’y avait pas vraiment « divorce », entre deux géométries qui auraient été d’espèce différente, l’une discrète, l’autre continue. Plutôt, il y avait deux points de vue différents dans l’investigation des mêmes figures géométriques : l’un mettant l’accent sur les propriétés « discrètes » (et notamment, les propriétés numériques et combinatoires), l’autre sur les propriétés « continues » (telles que la position dans l’espace ambiant, ou la « grandeur » mesurée en terme de distances mutuelles de ses points, etc.). »’( « Récoltes et Semailles, §2.10. A.G)

- «  Alors là  PAPY il me semble que je commence à te comprendre   …et même que je puis imaginer que GROTHENDIECK  va proposer des concepts  différents et plus pointus( !)  pour  la définition du point ,  de la ligne  , du plan d et même de l’espace et  envoyer les BOURBAKI  au vestiaire  !!!!

-«   Je t’en prie PIERRE  ,nous n’en sommes pas encore arrivés là : ne mettons pas la charrue avant les bœufs !Poses toi pour ce soir la question : si une ligne droite est constituée d’une infinité de points  ( d’éléments non divisibles selon  EUCLIDE) quelles sont ses propriétés pour  qu’ elle puisse   se retrouver   en un «   tout  défini  globalement  » mais restant attaché à un  chemin précis ?

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LA NUIT SE PASSE …Le lendemain  nous  reprenons le dialogue !

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-« As-tu une réponse à me donner   PIERRE ?

-«   Je crois que oui ,  PAPY   et c’est l’algèbre qui me permettra  de te répondre !  ( ma photo) Tout ligne droite  DANS LE PLAN  XY  sera définie par l’équation linéaire   y= ax +  b ;  Les valeurs numériques  a et b  permettront de  la faire passer par où l’on voudra  …… Et de plus  la continuité   à laquelle tu tiens particulièrement,  est assurée  par  la «  puissance du continu «   que tu peux  donner à x !


Le Pouvoir de l 'Imaginaire (372): La révolte de GROTHENDIECK  (suite)

-« Tu as botté en touche PIERRE !C’est  le chemin  que prirent  les premiers découvreurs  .Parler de la puissance du continu pour les valeurs de x   ne te guide pas vers la direction de GROTHENDIECK !

 A suivre


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