Dans le tumulte qui secoue la France actuellement je me doute que le récit des coups de génie de GROTHENDIECK ne pèsera pas lourd chez mes lecteurs ce soir ! ...
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-" Tu m'as lâchement abandonné PAPY , hier , en prétextant que ma réponse algébrique n'était pas suffisante !
-" Elle n'amenait que trop de trucs a t'expliquer si tu utilisais ce concept mathématique qu'on dénomme " la puissance du continu " .Et mon expérience de l'Algérie au 65 ème RA m'a enseigné PIERRE qu' il n'est pas nécessaire de tirer " statistiquement " 1000 cartouches pour toucher sa cible ! il te suffisait de me dire que pour toi tout élément de x possède une image sur y et que si x présente un ensemble de valeurs continues, y le sera aussi .....( c.a.d. une bijection ).
Revenons à l'ambition de Grothendieck de jeter un pont définitif entre GEOMETRIE PURE et ALGEBRE ....Voici l'origine de son " réveil " mathématique ( copier-coller) : " C'est à la fin du siècle dernier qu'un divorce est apparu, avec l'apparition et le développement de ce qu'on a appelé parfois la " géométrie (algébrique) abstraite ". Grosso-modo, celle-ci a consisté à introduire, pour chaque nombre premier p, une géométrie (algébrique) " de caractéristique p ", calquée sur le modèle (continu) de la géométrie (algébrique) héritée des siècles précédents, mais dans un contexte pourtant, qui apparaissait comme irréductiblement " discontinu ", " discret "........ " La " géométrie (algébrique), et tout particulièrement les géométries " discrètes " associées aux différents nombres premiers, devaient fournir la clef pour un renouvellement de vaste envergure de l'arithmétique. C'est dans cet esprit qu'il (Weil) a dégagé, en 1949, les célèbres " conjectures ". Conjectures absolument époustouflantes, à vrai dire, qui faisaient entrevoir, pour ces nouvelles " variétés " (ou " espaces ") de nature discrète ... "........ qu'elles présenteraient : " la possibilité de certains types de constructions et d'arguments qui jusque-là ne semblaient pensables que dans le cadre des seuls " espaces " considérés comme dignes de ce nom par les analystes - savoir, les espaces dits " topologiques " (où la notion de variation continue a cours). "
Et GROTHENDIECK termine par un " cocorico " d'espérance ! : " On peut considérer que la géométrie nouvelle est avant toute autre chose, une synthèse entre ces deux mondes, jusque-là mitoyens et étroitement solidaires, mais pourtant séparés : le monde " arithmétique ", dans lequel vivent les (soi-disants) " espaces " sans principe de continuité, et le monde de la grandeur continue, où vivent les " espaces " au sens propre du terme, accessibles aux moyens de l'analyste et (pour cette raison même) acceptés par lui comme dignes de gîter dans la cité mathématique. Dans la vision nouvelle, ces deux mondes jadis séparés, n'en forment plus qu'un seul. " (A.G : " Récoltes et Semailles, §2.10. La géométrie nouvelle - ou les épousailles du nombre et de la grandeur)
-" Je veux bien admettre PAPY qu' un mathématicien force son ambition à tenter une telle synthèse , compte tenu de ce curieux mélange de" bidules " que l'Univers nous pressente comme séparables et/ou continus .....Alors comment y est-il arrivé ????
-"PIERRE , les péripéties existentielles de GROTHENDIECK concernent les historiens mais pas moi ( tout comme celles d'EINSTEIN d'ailleurs) .Que la vie personnelle d' un auteur littéraire soit d'une certaine importance sur son œuvre et sur notre ressenti ? BON d' accord ! Mais dans les sciences dures seul le résultat compte .... C'est brutal de dire les choses ainsi mais les chercheurs ne sont pas des " people "!!
Si nous revenons donc à notre sujet notre auteur s'est vu obligé d'inventer une bien plus grande richesse lexicale à son vocabulaire d apatride !
-" AH lui aussi comme les Bourbaki !
-" Mais PIERRE, si tu découvres de nouvelles formes de boites de conserve j'espère que tu vas te dépêcher d' inventer d'autres solutions d'ouvre- boites plutôt que mourir de faim !
-" Bon vas-y PAPY ! Je me cramponne !
-" Son idée était " de concevoir une théorie cohomologique, comme foncteur contravariant d'une catégorie (dont les éléments sont appelés motifs), universelle au sens que toute théorie cohomologique se factorise par elle. "
-" PITIE ! PAPY !
-" GROTHENDIECK te l expliquera plus longuement que moi ( copier -coller) : " Dans ma vision des motifs, ceux-ci constituent une sorte de " cordon " très caché et très délicat, reliant les propriétés algébro-géométriques d'une variété algébrique, à des propriétés de nature " arithmétique " incarnées par son motif. Ce dernier peut être considéré comme un objet de nature " géométrique " dans son esprit même, mais où les propriétés " arithmétiques " subordonnées à la géométrie se trouvent, pour ainsi dire, " mises à nu ". Ainsi, le motif m'apparaît comme le plus profond " invariant de la forme " qu'on a su associer jusqu'à présent à une variété algébrique, mis à part son " groupe fondamental motivique ". L'un et l'autre invariant représentent pour moi comme les " ombres " d'un " type d'homotopie motivique " qui resterait à décrire. C'est ce dernier objet qui me semble devoir être l'incarnation la plus parfaite de l'élusive intuition de " forme arithmétique " (ou " motivique ") d'une variété algébrique quelconque.
C'est là [...] la quintessence d'une idée d'une simplicité enfantine encore, délicate et audacieuse à la fois. J'ai développé cette idée, en marge des tâches de fondements que je considérais plus urgentes, sous le nom de " théorie des motifs " ou de " philosophie " (ou " yoga ") des motifs", tout au long des années 1963-69. C'est une théorie d'une richesse structurale fascinante, dont une grande partie est restée encore conjecturale ".(Récoltes et Semailles, § 2.16. Les motifs - ou le cœur dans le cœur)
A suivre
Jeu de briques
Snake
Pacman
Bubble