au carré, au cube, etc. (appui en mathématiques)

Pas facile de comprendre ce qu'est une multiplication. La technique de calcul, apprendre les livrets par coeur, c'est une chose. Mais ce n'est pas comprendre les multiplications. Comprendre les multiplications, c'est comprendre qu'il ne s'agit pas d'une addition "spéciale". C'est comme un labyrinthe. On croit que l'enfant a compris et puis en vrai, pas vraiment. On croit qu'il sait comment trouver la sortie mais en fait il s'écarte de la bonne trajectoire, emprunte des chemins en cul-de sac. C'est difficile pour eux de comprendre et c'est difficile pour nous de savoir s'ils ont réellement compris ou non, difficile de suivre leur trajectoire réelle, derrière les haies de buis. J'avais parlé en décembre d'un livre "les mathématiques apprivoisées : pour en finir avec les blocages en math". Depuis, je l'ai pratiqué avec une élève et j'en pense toujours autant de bien. Elle est censée avoir assimilé la notion de multiplication et maintenant, en classe, ils étudient les puissances. En fait, elle est seulement en train d'acquérir cette notion de multiplication et les histoires du manuel ci-dessuis l'y ont beaucoup aidée. Personnellement, je n'ai pas d'exemplaire du manuel et je ne me souviens pas exactement des histoires. Mais hier, nous avons travaillé avec ce récit : Un   a caché 7 noisettes dans 7 cachettes.                                         Comment peut-on décrire cette situation en langage mathématique ?    7 X 7  (soit 7 puissance 2)    Si il avait caché 3 noisettes dans 7 cachettes ? 3 X 7    7 noisettes dans 3 cachettes ?  7 X 3    8 noisettes dans 8 cachettes ?  8 X 8 (soit 8 puissance 2,         également dit 8 au carré)    Cette élève avait déjà rempli moult fiches sur les puissances, mais elle ne se représentait absolument pas à quoi cela correspondait. Cette histoire de noisettes et de cachettes l'y a aidée. Nous avons repris cette histoire d'écureuil pour compléter :Un écureuil a dissimulé dans 7 arbres des noisettes. Dans chacun de ces 7 arbres, il a mis 7 cachettes. Dans chacune de ces cachettes, il a mis 7 noisettes.           Comment peut-on décrire cette situation en langage mathématique ?          7 X 7 X 7 (soit 7 puissance 3, également dit 7 au cube)L'avantage de ce type de récit, c'est qu'il facilite le débusquage des compréhensions partielles. Il suffit d'introduire des variations : Si il a dissimulé dans 6 arbres des noisettes et que dans chacun des arbres il a mis 5 cachettes et dans chacun d'entre elles 3 noisettes, comment peut-on décrire cette situation ? 6 X 5 X 3. Aucune possibilité de transformer cette multiplication en puissance. Lorsque je lui ai demandé combien faisait 10 X 10 X 10, elle m'a répondu puis 30, puis 300, elle a aussi suggéré 3'000 (soupirs !) D'où le dialogue suivant : "Tu vois 3 fois le chiffre 10, mais ça veut pas dire que le calcul à faire, c'est 3 X 10. Quand tu lis le chiffre 777, tu vois aussi 3 fois le chiffre 7, mais c'est sans grande importance. Tu ne me dis pas que 777 est égal à 3 X 7 = 21." Maintenant, je me dis que cette précision est un peu sommaire. Il faut que j'insiste bien davantage sur cette différence entre les CHIFFRES et les NOMBRES. Différence qui, comme le dit si justement l'article de Wikipedia, est à rapprocher à la différence entre les lettres (les chiffres) et les mots (les nombres).