La formule du binôme de Newton

Le problème

On souhaite disposer d’une formule générale pour développer le produit

$\left(a+b\right)^n$

où et sont des complexes donnés et un entier naturel.

Lorsque n=1 , on sait faire :

$\left(a+b\right)^1=1\times a + 1\times b$

Lorsque n=2 , on sait aussi :

$\left(a+b\right)^2=1\times a^2 + 2\times ab+1\times b^2$

On a déjà utilisé également le développement correspondant à n=3 :

$\left(a+b\right)^3=1\times a^3 + 3\times a^2b+3\times ab^2 +1\times b^3$

Dans le cas général, on conçoit que pour développer $\left(a+b\right)^n$ , il convient de choisir, dans chacun des facteurs égaux à $\left(a+b\right)$ , soit , soit . Le résultat sera donc une somme de termes de la forme $a^kb^{n-k}$ (on a choisi dans facteurs et dans les autres), avec variant de 0 à . Tout le problème est de compter combien de fois chacun de ces termes apparaît dans le développement.

Conjecture

Observons les premiers coefficients qui apparaissent dans les cas particuliers ci-dessus :

Les premiers coefficients

A l’observation de ces coefficients, on remarque une propriété qui permet de calculer les termes de la ligne suivante :

Règle de calcul

Pour écrire clairement la conjecture suggérée par la figure ci-dessus, nous avons besoin d’une nouvelle notation. Nous noterons $\binom{n}{k}$ le nombre d’apparition du terme $a^kb^{n-k}$ dans le développement.

On peut donc conjecturer la propriété suivante : pour tout entier naturel , pour tout entier variant de 1 à ,

$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$

Preuve de la conjecture

Avec les notations adoptées, nous pouvons écrire :

$\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

et au rang suivant :

$\left(a+b\right)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}$ (1).

Calculons cette deuxième somme d’une autre façon :

$\left(a+b\right)^{n+1} = \left(a+b\right)^n\times (a+b) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^kb^{n-k}\times (a+b)$

D’où $\left(a+b\right)^{n+1} =\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}$

Dans la première somme, effectuons le changement de numérotation des termes consistant à remplacer par k+1 :

$\left(a+b\right)^{n+1} =\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1}a^{k}b^{n-(k-1)} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}$

ou encore :

$\left(a+b\right)^{n+1} =\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1}a^{k}b^{n+1-k} + \binom{n}{n}a^{n+1}b^0 + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1} + \binom{n}{0}a^0b^{n+1}$ .

Cette écriture permet de regrouper les deux sommes en une :

La formule du binôme de Newton

On a par ailleurs de façon évidente : $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1}$ et $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$ .

D’où finalement :

La formule du binôme de Newton (2) .

En comparant les égalités (1) et (2) ci-dessus, on obtient par identification des coefficients : $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$ , pour tout entier naturel , pour tout entier variant de 1 à , ce qui prouve la conjecture.

Conclusion

La formule conjecturée étant vraie, on peut calculer de proche en proche les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ pour développer des produits du type $\left(a+b\right)^n$ .

Complément : lire le billet sur le triangle de Pascal.

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