Après vous avoir écrit un article sur « Les objets fractals », je me devais de vous présenter cet autre livre que j’avais étudié dans le cadre de l’automatisation des transferts boursiers il y a quelques années. Encore une application très intéressante du monde des fractales : la finance.
Voici quelques passages remarquables :
« Les fractales sont des objets [...]qu’on appelle irréguliers, rugueux, poreux ou fragmentés, et qui, possèdent ces propriétés au même degré et à toutes les échelles. C’est à dire que ces objets ont la même forme qu’ils soient vus de près ou de loin. » [P33]
« C’est ainsi que j’ai pris au pied de la lettre l’anecdote selon laquelle, examinant un zigzag dans la chronique boursière d’un journal, et n’en connaissant pas l’échelle, on ne saurait deviner si ce zigzag représente tel ou tel prix d’heure en heure, de jour en jour, ou de mois en mois. » [P35]
« Un objet est dit auto-similaire » si le « tout », c’est à dire l’objet tout entier, peut être découpé en « parties », dont chacune se déduit du tout par un similitude, c’est à dire une réduction ou compression linéaire. Une telle réduction peut se décomposer en une homothétie suivie éventuellement par une translation, un réflexion et une rotation [...] On dit qu’un tel objet est invariant par une famille de réductions [...] Du point de vue mathématique, le processus de réduction peut-être répété indéfiniment. Il s’ensuit nécessairement qu’un objet mathématique autosimilaire contient des détails infinitésimaux. » [P40-41]
« L’auto-affinité implique plusieurs dimensions fractales et la multifractalité en implique une infinité » [P55-56]
« Quelle est donc l’idée centrale de mes travaux sur la finance ? L’idée, qu’on peut appeler ambiante, suivait la physique en utilisant le mouvement brownien. Elle admettait que les prix sont des fonctions continues du temps et que leurs fluctuations ne sont pas plus sévères que celle que décrit la distribution bien classique de Gauss. Mais l’examen des faits montrait le contraire: des fonctions discontinues et des fluctuations tout à fait extrêmes. » [P59]
« La préface de Gnedenko et Kolmogorov 1954 nous affirme que toute valeur épistémologique de la théorie des probabilités est basée sur le fait que les phénomènes aléatoires, considérés dans leur action collective à grande échelle, créent une régularité non aléatoire. » [P61]
« Lorsqu’un hasard n’est pas bénin et que le défaut de convergence est dû à la taille exceptionnelle de quelques valeurs (comme pour le bruit blanc de Cauchy), nous disons qu’il manifeste un effet noé » [P113]
« Le modèle le plus simple de fluctuation régie par le hasard – et par conséquent le plus tentant – est le mouvement brownien, qui postule que les prix sont continus, et leurs changements successifs sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes. » [P131]
« Alexander 1961 définit un filtre à p% comme une boite noire qui suit les variations d’un prix, marquant tous les maxima et minima locaux. Elle donne un ordre d’achat au premier instant où le prix est égal à un minimum local, plus p% exactement. Ensuite, elle donne un ordre de vente au premier instant où le prix est égal à un maximum local, moins p% exactement. Ainsi de suite, alternant achats et ventes. » [P144]
« Aujourd’hui, l’économiste peut commencer à entrevoir la possibilité de séparer ce qui est dû aux mécanismes économiques de ce qui est dû aux faits physiques qui ont sur leur économie une influence réelle. Mais tout cela est difficile, et il vaut mieux commencer par décrire. » [P163]
Ce que j’en ai retiré
La première lecture de cet ouvrage ne m’a pas permis de dégager réellement une quelconque application pratique pour la bourse. La plupart des sujets sont abordés de manière théorique… peut-être suis passé à coté de l’essentiel, ou bien tout cela reste peut-être « trop sensible » pour que Benoit Mandelbrot ait eu les autorisations de publication. Dans tous les cas je n’ai pas le bagage mathématique suffisant pour comprendre les différentes démonstrations, tant cela reste un domaine relativement particulier. A lire toutefois si on s’intéresse aux comportements « naturels » et « physiques » des mouvements boursiers.
Jeu de briques
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Pacman
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