Pi Day : un peu d’histoire des mathématiques

La notation anglo-saxonne de la date du 14 mars fait sourire les mathématiciens : 3/14 ou plutôt 3,14 ce qui correspond au nombre π avec ses deux premières décimales ! Il n'en fallait pas plus pour décider que le 14 mars serait la journée de π. En ce jour unique où l'on ajoute deux autres décimales (3,1415), partons sur les traces de ce nombre surprenant...

Le nombre πest connu depuis l'Antiquité en tant que rapport entre la longueur du cercle et son diamètre, et particulièrement en tant que méthode de calcul du périmètre du cercle (ou de l'aire du disque). Ce nom vient du fait que la lettre π est l'initiale du mot grec " perímetros ". Le mystère de π donna lieu à de très nombreuses réflexions au cours de l'Histoire. Pour simplifier leurs calculs, les Phéniciens et les Babyloniens donnaient à π la mesure de 3, et les Égyptiens 3,1604. D'autres mathématiciens parvinrent à des valeurs approximatives, comme l'astronome indien Aryabhata qui donna à π la valeur 3,1416.

En 250 avant J.C., Archimède fut le premier à essayer d'améliorer significativement la précision des valeurs approchées de π ; pour cela, il en donna un encadrement en proposant un calcul approché de la circonférence du cercle.

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

Par la suite, les mathématiciens continuèrent de s'interroger longuement sur la nature arithmétique de ce nombre. Il fallut attendre Lambert en 1761 et Legendre en 1794 pour savoir que π est irrationnel (c'est-à-dire qu'il est impossible de l'écrire comme un quotient d'entiers). Au XIX ^e siècle, Charles Hermite simplifia la démonstration de l'irrationalité de π. Ses travaux sur la transcendance furent aussi à l'origine de la démonstration par Lindemann de la transcendance de π en 1882. Lindemann démontra ainsi l'impossibilité de la quadrature du cercle, l'un des plus anciens problèmes de mathématiques, à savoir le fait de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un disque donné.

Le nombre π apparaît aussi dans beaucoup de formules de l'analyse et de la théorie des nombres : la fonction zêta de Riemann, les intégrales de Fresnel, l'intégrale de Gauss, ou encore les formules de Fagnano, de Wallis, de Brounker, etc. En reprenant la méthode d'exhaustion d'Archimède, François Viète a été le premier, au XVI ^e siècle, à présenter une formule donnant π sous forme d'un produit infini.

Pour retenir les premières décimales de π, on a imaginé au XIX ^e siècle et peut-être avant, un petit poème où le nombre de lettres de chaque mot exprime une décimale :

À vous de compter...

Marie Boissière, département Sciences et techniques

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