Question d'entretien en finance de marché: Options Européennes vs Americaines

Dans cet article, je poursuis la démarche de répondre point par point à la liste de questions proposée par l'université Pierre et Marie Curie.
Aujourd’hui une question très classique, mais qui mérite une réponse claire:

Pourquoi le prix d’une option américaine est différent de celui d’une option européenne ?

 Approche Qualitative

 Rappelons qu'une option européenne ne peut être exercée qu'a sa date de maturité, tandis qu'une option américaine peut être exercée à n'importe quel moment avant sa date de maturité.
Toutefois quel que soit le mode d’exercice, les deux types d'option sont sujettes à la même formule d'évaluation de leur pay-off. Pour un call, la fonction de pay-off est donc la même pour les deux types d'Options : max{S_t-K,0}  (0).
Sans que cela constitue une caractérisation, on notera que les options américaines sont plus échangées sur les marchés organisés, tandis que les européennes  sont plus échangées sur les marché OTC. Sur le plan technique, on notera que les dates d'expirations des options standard son fixées à des dates précises du mois, qui sont différentes pour les options américaines et européennes.
Par contre, il est important de noter que le théorème de Black&Scholes porte sur les options européenes. Il n'est pas directement applicable aux options américaines. Celles-ci n'admettent pas en général de solutions analytiques exactes, il faut soit aller chercher une forme d'approximation à partir d'un modèle, soit utiliser une méthode numérique pour calculer leur prix. Il n'y a pas de consensus sur les méthodes de pricing des options américaines. Nous allons présenter une méthode simple d'approximation numérique du prix des options basé sur des incréments de temps discrets et utilisant les arbres binomiaux, appelée approche de Cox-Ross-Rubinstein.
Nous allons clore cette section qualitative, en ajoutant que les options américaines peuvent être utilisées comme des options américaines, mais que l'inverse n'est pas vrai. Les options américaines donnent accès à plus de droits que les options européennes, et donc leur prix est supérieur au prix des options européennes de même caractéristiques.

Approche Quantitative: Pricing des options américaines par arbres binomiaux.

Nous allons détailler dans cette section une approche statistique simple pour évaluer les options américaines. Cette approche peut aussi être utilisée pour évaluer les options européennes, et converge vers la formule de Black & Scholes: il s'agit de la méthode de Cox-Ross-Rubinstein.
Notons Δt un petit incrément de temps. A t=0, notre sous-jacent à un prix S. Nous considérons qu'a partir de ce point, notre prix peut s’apprécier par un facteur u (u>1) avec une probabilité p, ou se déprécier d'un facteur d(d<1) avec une probabilité 1-p.
Il est possible de multiplier ce raisonnement sur plusieurs intervalles k.Δt de manière à évaluer le prix de l'option à un instant souhaité.
Nous allons utiliser une probabilité risque neutre pour déterminer le prix de notre option. Rappelons que selon l’hypothèse risque neutre, on a:

• L'espérance de rendement associée à tous les placements est de r, ou r est le taux sans risque.
• On peut utiliser ce taux sans risque r pour actualiser tous les flux associé à notre placement.

Supposons que notre placement offre des coupons/dividendes de rendement q. Selon l’hypothèse rique neutre, la valeur présente de notre placement est E(S)=Se^(r-q)Δt.  (a)
Cette espérance est la même que celle calculée par notre arbre binomial qui vaut p.S.u+(1-p).d.S (b). on a :
e^(r-q)Δt=p.u+(1-p)d   (1)
Nous allons maintenant évaluer la variance de notre produit. Soit X une variable aléatoire réelle. on a Var(X)=E(X²)-(E(X))². Notons R l'accroissement en % de notre sous-jacent (S(t+Δt)-S(t)/S(t)). u peut s'écrire comme 1+R. En utilisant (a) et (b), on a:
Var(1+R)=Var(R)=p.u²+(1-p)²-e^2(r-q)Δt
En nous plaçant sous les hypothèses de Black&Scholes sur la nature Log-normale des accroissements des cours, on a:
Var(1+R)=Var(R)=σ².Δt
p.u²+(1-p)²-e^2(r-q)Δt =σ².Δt   (2)
Aux équations (1) et (2), Cox-Ross-Rubinstein rajoutent la relation suivante:
u=1/d   (3)
En utilisant les équations (1), (2), (3), on obtient les égalités suivantes:
En appliquant ces formules, on obtient une expression de la valeur de S en k.Δt:
S₀u^jd^i-j, j=0,1,....,k
De proche en proche, en utilisant (0) et en partant des feuilles de l'arbre, il est possible de déduire la valeur de l'option selon la probabilité risque neutre à T=k.Δt telle que la valeur de l'option à T soit:
max{S_t-K,0}Le prix de l'option est calculé comme la valeur actualisée par r de l'espérance du prix de l'option calculée au pas de temps ultérieur (anti chronologiquement).