Fascinant nombre Pi

La valeur approchée en écriture décimale de Pi à 10^-15 près est :

= 3,141 592 653 589 793

On pourrait s’arrêter là, car Pi est simplement un nombre à virgule. Pourtant, ce nombre intéresse voire fascine les mathématiciens depuis l’Antiquité ! En effet, on trouve des traces de travaux sur ce nombre sur des tablettes babyloniennes datant de 2 000 ans av. J.-C.

Comment pourrait-on définir Pi ?

Il n’existe pas une mais plusieurs définitions de ce nombre. La plus courante et la plus simple à retenir est liée à la géométrie : Pi est le rapport constant entre la circonférence d’un cercle (appelé aussi périmètre) et son diamètre :     =

Historiquement la première mais considérée comme intuitive, cette définition a été remplacée par de nouvelles, plus complexes, liées aux fonctions trigonométriques, sans qu’aucune ne soit définitive.

C’est en cherchant à définir et calculer ce nombre que les mathématiciens ont, au cours de l’histoire, découvert ses propriétés et sa place incontournable dans de très nombreux calculs.

Pourquoi ne pas l’avoir appelé « schmoldu » ?

Jusqu’au XVIII^ème siècle, Pi n’avait pas de nom ni de symbole particulier mais était désigné par diverses périphrases comme par exemple la « constante du cercle » (jamais par « schmoldu »…). La lettre grecque « π », première lettre du mot περιφέρεια (périphérie) s’impose progressivement sous l’impulsion des mathématiciens William Jones puis Leonhard Euler qui l’utilisent dans leurs publications.

Ses premières propriétés sont…

Pi est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme de la division de deux nombres entiers. Ceci entraîne que son écriture décimale est infinie et non périodique. Propriété supposée dés le IX^ème siècle par Al-Khawarizmi, elle n’est démontrée qu’au XVIII^ème siècle par Johann Heinrich Lambert.

Pi est aussi un nombre transcendant, c’est-à-dire non algébrique. Cette propriété fut démontrée au XIXème siècle par Ferdinand von Lindemann. Cette transcendance a pour conséquence que le nombre Pi n’est pas constructible c’est-à-dire qu’il est impossible de tracer, uniquement à la règle et au compas, un carré dont la superficie serait égale à celle d’un cercle donné, tracé appelé aussi la quadrature du cercle.

Le calcul des décimales de Pi … pour les savants fous !

Une dizaine de chiffre derrière la virgule suffisent pour la majorité des applications concrètes de l’utilisation du nombre Pi. Mais ce nombre irrationnel (sans fin et sans période) a toujours fasciné les mathématiciens. En 2007, on en connaissait 10¹² décimales (soit 1 000 000 000 000 chiffres derrière la virgule). Malgré de nombreux travaux, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire la séquence de ces décimales et les calculs continuent à l’aide d’ordinateurs de plus en plus puissants et d’algorithmes de calcul de plus en plus sophistiqués. En outre, ces recherches amènent d’autres questions, comme celle de savoir si π est un nombre normal, c’est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis, ou s’il est un nombre univers, ce qui signifie qu’on pourrait trouver dans son développement décimal n’importe quelle suite finie de chiffres. Mais aujourd’hui, on peut facilement trouver sur internet les chiffres de la représentation décimale connue de π, et il existe même des logiciels de calcul des décimales de π qui peuvent être installés sur un ordinateur personnel.

Peut-être allez-vous, vous aussi, vouloir jouer au savant fou !